Съдържание

НОА 2006, IV кръг, Старша възраст — Задача 3

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2006

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА · КОМИСИЯ ПО ПРОВЕЖДАНЕТО НА IX НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО АСТРОНОМИЯ · IV КРЪГ · 15 юли 2006 г., гр. Стара Загора · Ученици старша възраст · 15 юли 2006 г.

Условие

С методите на звездната интерферометрия е измерен ъгловият диаметър на звезда с блясък 4ᵐ.7. Големината на диаметъра е 0.004'' (дъгови секунди). Спектроскопичните наблюдения на звездата показват, че жълтата линия на натрия (5890 ангстрьома) има две компоненти – ярка и слаба. Дължината на вълната на слабата компонента се променя синусоидално с амплитуда ±0.6 ангстрьома и период 30 години, а веднъж в рамките на този период слабата линия изчезва за интервал от 230 дни.

Оценете разстоянието до звездата, нейната маса и температура на повърхността.
Какъв тип звезда е това?

Справочни данни:
Радиус на Слънцето 700 000 км

Решение

Слабата компонента на натриевата линия в спектъра на звездата се създава от звезда-спътник, която е значително по-малка от главната звезда. Орбиталният период на спътника около главната звезда е $T=30$ години. От амплитудата $\Delta\lambda=\pm0.6\ \text{Å}$ на изменение на дължината на вълната на натриевата линия с $\lambda=5890\ \text{Å}$ можем да намерим линейната скорост на движение на спътника:

v=\frac{\Delta\lambda}{\lambda}c\approx30\ \text{км/с}

където $c$ е скоростта на светлината. Изчезването на слабата компонента на натриевата линия се дължи на затъмнение на спътника от главната звезда. Ако приемем, че затъмнението е централно, то от продължителността му $t=230$ дни можем да пресметнем диаметъра на главната звезда:

D=vt\approx600\times10^6\ \text{км}

Като имаме предвид ъгловия размер на звездата $\delta=0.004''$ , изчисляваме разстоянието до нея:

r=\frac D\delta

За да го получим направо в парсеци, превръщаме D в астрономически единици:

r=\frac{D/150\times10^6\,km}{0.004''}=1000\ \text{pc}

Като знаем орбиталния период на спътника и неговата скорост, можем да намерим радиуса на неговата орбита около главната звезда:

a=\frac{vT}{2\pi}\approx4.5\times10^9\ \text{км}=30\ \text{AU}

Предполагаме, че масата на спътника е много по-малка от масата на главната звезда. От III закон на Кеплер за масата на главната звезда $M$ в слънчеви маси намираме:

M=\frac{a^3}{T^2}

Тук $a$ е в астрономически единици, а $T$ в години.

M=30\ \text{слънчеви маси}

Забелязваме, че видимата звездна величина на звездата е приблизително равна на абсолютната звездна величина на Слънцето. Разстоянието до звездата обаче е 1000 парсека, или 100 пъти по-голямо от стандартното разстояние от 10 pc, спрямо което се дефинира абсолютната звездна величина. Следователно светимостта $L$ на звездата е $100^2=10000$ пъти по-висока от светимостта на Слънцето $L_S$ . Ако означим с $R=D/2$ и $R_S=700\,000$ км радиусите на звездата и на Слънцето, а с $T$ и $T_S$ – техните температури, то можем да напишем:

L=4\pi R^2\sigma T^4

L_S=4\pi R_S^2\sigma T_S^4

Където $\sigma$ е константата на Стефан-Болцман. Разделяме почленно двете равенства:

\frac L{L_S}=\left(\frac R{R_S}\right)^2\left(\frac T{T_S}\right)^4

Като знаем, че температурата на Слънцето е 6000 К, за температурата на звездата получаваме:

T=T_S\sqrt[4]{\frac L{L_S}\left(\frac{R_S}R\right)^2}

T\approx2900\ \text{К}

Звездата е много по-масивна от Слънцето и е в края на своята еволюция – превърнала се е в червен свръхгигант.

Оригинал в Архива: NOA4_2006_STproblems.pdf · официални решения: NOA4_2006_STsolutions.pdf · допълнителни данни: NOA4_2006_MLsolutions.pdf