НОА 2007, II кръг (областен), 9–10 клас — Задача 5

• $360^\circ \times 3^{h}/24^{h} = 45^\circ,\qquad \delta_{\text{аст}} = 45^\circ/44 \approx 1^\circ,\qquad \delta_\oplus = \frac{2R}{r}\cdot\frac{180^\circ}{\pi} \approx 0.5^\circ,\qquad a = \frac{150\,000\,000}{2} = 75\,000\,000\ \text{км}$

  Видимият от астероида ъглов диаметър на Слънцето е около $1^\circ$ – двойно по-голям от видимия от Земята $0.5^\circ$, значи астероидът е двойно по-близо до Слънцето от Земята.

За да направим пресмятанията, приемаме че Малкият принц наблюдава залезите от екватора на своя астероид. Нека залезът на Слънцето започва, когато най-долната точка на видимия слънчев диск докосне хоризонта, и завършва, когато Слънцето изцяло се скрие под хоризонта. Това означава, че за интервала от време, докато трае залезът, Слънцето изминава един свой видим ъглов диаметър при видимото си денонощно движение по небесната сфера. Астероидът на Малкия принц се завърта около оста си за 24 часа. Следователно за три часа Слънцето ще измине ъглово разстояние, равно на $360^\circ \times 3^{h}/24^{h} = 45^\circ$. През тези три часа Малкият принц е видял 44 слънчеви залеза, което означава, че Слънцето се е преместило на 44 свои ъглови диаметъра по небето. Следователно видимият от астероида ъглов диаметър на Слънцето е $45^\circ/44 \approx 1^\circ$. Видимият от Земята ъглов диаметър на Слънцето е:

където $R$ е радиусът на Слънцето, а $r$ е разстояниеот от Земята до Слънцето. Оттук следва, че астероидът на Малкия принц се намира приблизително на двойно по-близко разстояние до Слънцето, отколкото нашата планета, или на 150 000 000 / 2 = 75 000 000 км.