НОА 2007, III кръг (национален), 11–12 клас — Задача 2. Изгревът на Слънцето, наблюдаван от екватора на Луната

• $t = \frac{\delta}{\omega} = \delta\,\frac{T}{360^\circ} \approx 59\ \text{минути}$

  $T$ – синодичният лунен месец (29.5 денонощия, равен на слънчевото денонощие за Луната), $\delta = 0.5^\circ$ – видимият ъглов диаметър на Слънцето. Продължителността зависи от лунната фаза (два противоположни ефекта, като вторият – промяната на видимата ъглова скорост на Слънцето – е определящ), от положението на Луната спрямо апсидната линия, от годишното време и от физическите либрации.

Решение:

Ъгловата скорост $\omega$, с която се извършва средното видимо денонощно движение на Слънцето за лунен наблюдател, се определя от синодичния лунен месец – периода на смяна на лунните фази. Този период всъщност е равен на слънчевото денонощие за Луната. Да го означим с $T$. Тогава $\omega = 360^\circ/T$. На лунния екватор Слънцето ще изгрява вертикално нагоре. Наклонът на екватора на Луната към еклиптиката е много малък. Затова можем да смятаме, че видимият денонощен път на Слънцето по небето ще бъде близък до небесния екватор за Луната. Следователно продължителността на слънчевия изгрев ще бъде:

където $\delta$ е видимият ъглов диаметър на Слънцето.

Продължителността на слънчевия изгрев зависи от лунната фаза. С това са свързани два ефекта. Единият е, че когато Луната е в новолуние, тя е малко по-близо до Слънцето, отколкото когато е в пълнолуние. Затова видимият ъглов размер на Слънцето за лунен наблюдател ще бъде по-голям, когато Луната е в новолуние, отколкото когато е в пълнолуние. Това би трябвало да доведе до по-дълъг слънчев изгрев в първия случай в сравнение с втория.

От друга страна, когато Луната е в новолуние, нейната скорост относно Слънцето се получава като орбиталната й скорост около Земята се извади от орбиталната скорост на Земята около Слънцето. Това означава малко по-бавно движение на Слънцето по еклиптиката от запад на изток за лунния наблюдател и съответно – по-бързо денонощно движение на Слънцето от изток на запад. Този фактор би съкратил продължителността на изгрева на Слънцето, когато Луната е в новолуние. Той действа в обратната посока, когато Луната е в пълнолуние.

Качественият анализ не позволява да се оцени кой от двата фактора надделява. (Количествените оценки показват, че вторият ефект е определящ и в крайна сметка, при равни други условия слънчевият изгрев на Луната ще бъде по-кратък, когато тя е в новолуние, отколкото в пълнолуние).

Другите фактори, от които зависи продължителността на слънчевия изгрев за лунния наблюдатели, са:

1. От това къде се намира Луната по своята орбита относно апсидната линия зависи орбиталната скорост на Луната, а оттам и видимата ъглова скорост на Слънцето за наблюдател на лунната повърхност. Ефектите, които може да произведе този фактор, са свързани с гореспоменатото влияние на лунните фази върху продължителността на слънчевия изгрев.

2. Годишното време. Когато Земята е близо до перигея на своята орбита около Слънцето, видимият ъглов размер на Слънцето се увеличава, а движението му по еклиптиката се ускорява. И двата фактора действат в посока към увеличаване на продължителността на слънчевия изгрев на Луната.

3. Физическите либрации, в зависимост от моментната им посока, също оказват влияние върху видимото движение на Слънцето.