Съдържание

НОА 2007, III кръг (национален), 11–12 клас — Задача 4. Звездната величина на Харон, гледан от Плутон

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2007

Х Национална олимпиада по астрономия, III кръг, ученици от 11-12 клас · 12 май 2007 г.

Условие

Гледан от Земята с неголям телескоп, (134340) Pluto е звездообразен обект с визуална звездна величина в опозиция $m = 13^{m}.93$ . Това е така, защото тази планета-джудже се намира на разстояние 31.28 AU от Слънцето. Сега ние вече знаем, че Плутон има поне три спътника, като два от тях са много малки, а третият – Харон (Charon) е само два пъти по-малък от Плутон. Докато радиусът на Плутон е 1195 км, радиусът на Харон е 600 км. Орбитата на Харон е кръгова, с радиус 19600 км.

Каква е звездната величина на Харон в „пълнолуние”, гледан от тази част на повърхността на Плутон, която е обърната към него, и за която спътникът е близо до зенита?

Отговори

Решение

Решение: Предполагаме, че свойствата на повърхността на Плутон и Харон са близки, поради близкия им произход и условия на съществуване, и следователно албедото на двете планети можем да приемем за еднакво.

От Земята Плутон и Харон се намират на практически еднакво разстояние:

\Delta_{Pl}[AU] = r_{Pl} - 1

където $r_{Pl} = 31.28$ AU е разстоянието им до Слънцето.

Разстоянието от търсената област на Плутон до Харон е всъщност височината на спътника над повърхността на планетата-джудже.

h_{Ch} = r_{Ch} - R_{Pl}

където $r_{Ch} = 19600$ км е радиусът на орбитата на Харон, а $R_{Pl} = 1195$ км е радиусът на Плутон.

При решаването на задачата пренебрегваме размерите на Харон, защото те са малки в сравнение с разстоянието между планетите.

На разстоянието, от което наблюдаваме Плутон с неголям телескоп, неговото изображение се слива с изображението на Харон, така че измерената звездна величина включва и двете планети. Затова осветеността, която създава така наблюдаваният Плутон, е пропорционална на сумата от квадратите на радиусите на двете малки планети, и разбира се е обратно пропорционална на квадрата на разстоянието до тях:

E_{Pl} \propto \frac{R_{Pl}^{\,2}+R_{Ch}^{\,2}}{\Delta_{Pl}^{\,2}} = \frac{R_{Pl}^{\,2}+R_{Ch}^{\,2}}{(r_{Pl}-r_E)^2}

където $r_E = 150000000$ км $= 1$ AU е разстоянието от Земята до Слънцето.

Осветеността, която създава Харон на повърхността на Плутон, по подобни съображения е :

E_{Ch} \propto \frac{R_{Ch}^{\,2}}{h_{Ch}^{\,2}} = \frac{R_{Ch}^{\,2}}{(r_{Ch}-R_{Pl})^2}

Разбира се и двете осветености са обратно пропорционални на квадратите на разстоянията от Плутон и Харон до Слънцето, но в отношението на осветеностите те се съкращават, тъй като са практически еднакви. Коефициентите на пропорционалност, за които не бива да забравяме, също са еднакви.

Отношението на осветеностите е:

\frac{E_{Ch}}{E_{Pl}} = \frac{R_{Ch}^{\,2}}{(R_{Pl}^{\,2}+R_{Ch}^{\,2})}\cdot\frac{(r_{Pl}-r_E)^2}{(r_{Ch}-R_{Pl})^2}

От формулата на Погсон следва:

m_{Ch} = m_{Pl} - 5\lg\left[\frac{R_{Ch}}{\sqrt{R_{Pl}^{\,2}+R_{Ch}^{\,2}}}\cdot\frac{(r_{Pl}-r_E)}{(r_{Ch}-R_{Pl})}\right]

Пресмятаме и получаваме:

m_{Ch} = -11^{m}.27

(Харон е само с две звездни величини по-слаб, отколкото Луната, гледана от Земята. Причината е в значително по-малкото разстояние на Харон от Плутон и в три пъти по-голямото албедо на Харон и Плутон от албедото на Луната.)

Оригинал в Архива: NOA3_2007_11-12problems.pdf · официални решения: NOA3_2007_11-12solutions.pdf