НОА 2007, IV кръг, Старша възраст — Задача 3. Период на две звезди в галактика

• $\mathrm{T}_{\mathrm{syn}} = \frac{\mathrm{T}_1\mathrm{T}_2}{\mathrm{T}_2 - \mathrm{T}_1} \approx 1100\,.\,10^6\ \text{год.}$

  T₁ ≈ 315×10⁶ години, T₂ ≈ 440×10⁶ години.

Решение: На всяка от двете звезди влияние оказва само онази част от галактиката, която се намира в област около галактичния център с радиус по-малък от радиуса на орбитата й. За двете звезди означаваме орбиталните радиуси с $\mathrm{r}_1 = 5$ kpc и $\mathrm{r}_2 = 10$ kpc. Понеже масата е равномерно разпределена в цялата галактика, то можем да дефинираме плътност на галактиката $\rho = \dfrac{\mathrm{M}}{\mathrm{V}}$, където $\mathrm{M} = 10^{11}\,\mathrm{M}_{\mathrm{S}}$ (слънчеви маси) е масата й, а $\mathrm{V}$ е обемът й.

Означаваме с r радиуса на галактиката, а с h дебелината й. Понеже $h \ll r$, то ние можем да я разглеждаме като силно сплесната, следователно $\mathrm{V} \sim \mathrm{h}.\mathrm{r}^2$. Оттук следва, че обемите галактично вещество, оказващи влияние на двете звезди са $\mathrm{V}_1 \sim \mathrm{h}.\mathrm{r}_1^2$ и $\mathrm{V}_2 \sim \mathrm{h}.\mathrm{r}_2^2$. Следователно $M_1 \sim \rho \mathrm{h}\,\mathrm{r}_1^2$ и $\mathrm{M}_2 \sim \rho \mathrm{h}\,\mathrm{r}_2^2$, където $M_1$ и $M_2$ са съответните маси вещество, влияещи на двете звезди.

Съгласно III закон на Кеплер, ако $T_1$ и $T_2$ са орбиталните периоди на звездите, то:

Оттук получаваме:

Звездите обикалят в една и съща посока, следователно за търсения синодичен период е в сила: