Съдържание

НОА 2008, II кръг (областен), 11–12 клас — Задача 5

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2008

XI Национална олимпиада по астрономия 2008, II кръг, ученици от 11-12 клас · 2 март 2008 г.

Условие

Космическият телескоп Хъбъл лети в орбита около Земята на височина 580 км. Особено значими за астрономията са получените чрез него изображения на изключително далечни галактики. За фотографирането на такива слаби обекти е необходимо да се правят продължителни експонации, при които обектите трябва да се следят от телескопа.

Справочни данни:

Маса на Земята $6 \times 10^{24}$ кг
Радиус на Земята 6370 км
Радиус на Йо 1815 км
Маса на Йо $894 \times 10^{20}$ кг
Гравитационна константа $\gamma = 6.67 \times 10^{-11}$ м $^3$ .кг $^{-1}$ .сек $^{-2}$
Температура на слънчевата фотосфера: 5800 K
Видима звездна величина на Слънцето: $-26.7^m$

• Ако телескопът следи даден космически обект, какво е максималното време, за което обектът може да остане закрит за телескопа от Земята?

Отговори

Решение

Съгласно третия закон на Кеплер:

\frac{\left(R+h\right)^3}{T^2} = \frac{\gamma M}{4\pi^2}

където $R = 6370$ км е радиусът на Земята, $h$ е височината на орбитата на космическия телескоп над земната повърхност, $T$ е орбиталният период на телескопа, $M$ е масата на Земята, а $\gamma$ е гравитационната константа. Оттук намираме орбиталния период:

T = 2\pi\sqrt{\frac{\left(R+h\right)^3}{\gamma M}}

T \approx 1.60^h \approx 1^h 36^{\min}

Да определим отдалечеността на хоризонта за космическия телескоп. От Фиг.1 виждаме, че:

\cos\alpha = \frac{R}{R+h}

\alpha \approx 23.57^\circ

Фиг. 1: космически телескоп на височина h над кълбото на Земята, допирателните лъчи и ъгъл alpha при центъра между радиуса R към допирната точка и посоката към телескопа. Фиг. 2: орбита на телескопа около Земята с две положения на телескопа – лявото е означено с 1, а дясното е оставено без надпис – ъгли alpha от двете страни и централен ъгъл beta между тях; стрелки надолу сочат към наблюдавания обект.

Максималният интервал от време, през който даден отдалечен обект остава невидим за космическия телескоп, се получава, когато покритието на обекта от Земята е централно, т.е., когато лъчът на зрение към обекта лежи в орбиталната равнина на телескопа. Този интервал е равен на времето, за което телескопът се придвижва по своята орбита от точка 1 до точка 2 на Фиг. 2. Можем да намерим ъгъла $\beta$ , който телескопът изминава от орбитата си за това време:

\beta = 180^\circ - 2\alpha = 132.85^\circ

Времето, необходимо на космическия телескоп за да измине този участък от орбитата си, е:

t = T\cdot\frac{\beta}{360^\circ}

t \approx 0.590^h \approx 35.4^{\min}

Един космически обект може да остане закрит за телескопа Хъбъл от Земята най-много за около 35 минути.

За по-точно решение на задачата нека направим опит да отчетем и плътните слоеве на земната атмосфера, които също биха попречили за наблюдението космическия обект. Бихме могли да приемем, че височината $d$ на тези слоеве е около 120 км над земната повърхност (там се появяват най-високите метеори, които могат да се наблюдават). Тогава можем да пресметнем:

\cos\alpha = \frac{R+d}{R+h}

\alpha \approx 20.96^\circ

\beta = 180^\circ - 2\alpha = 138.07^\circ

t \approx 0.613^h \approx 36.8^{\min}

Оригинал в Архива: NOA2_2008_11-12problems.pdf · официални решения: NOA2_2008_11-12solutions.pdf