Съдържание

НОА 2008, III кръг (национален), 9–10 клас — Задача 2. Земята и Венера, гледани от Марс

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2008

XI Национална олимпиада по астрономия 2008, III кръг, ученици от 9-10 клас · 10 май 2008 г.

Условие

Млад любител астроном от Марс лесно разпознава ярката Земя и ярката Венера в тъмното небе на своята планета. Все още обаче не е решил дали да участва в Общомарсианската олимпиада по астрономия. За да му покажете силата на теоретичната наука, без да сте виждали марсианското небе, определете коя планета е по-ярка – Земята или Венера, гледани от Марс, когато са в максимална елонгация? Как влияе на резултата това дали Марс е в перихелий?

Отговори

Решение

Както се вижда от чертежа, при максимална елонгация планетата Венера се вижда от Марс наполовина осветена от Слънцето. Същото важи и за Земята в максимална елонгация. Това ни улеснява да намерим отношението на видимия блясък на Венера към този на Земята.

Схема: Слънце в центъра, вътрешна окръжност — орбитата на Венера с радиус r_V, външна окръжност — орбитата на Марс с радиус r_M; отсечката Марс–Венера r_Ve е допирателна към орбитата на Венера.

Разстоянието от Марс до Венера в максимална елонгация е:

r_{Ve} = (r_M^2 - r_V^2)^{1/2}

където $r_M$ и $r_V$ са разстоянията съответно от Марс и от Венера до Слънцето. За осветеността, която Слънцето създава на Венера, можем да напишем:

E_{0V} \sim L/r_V^2

А осветеността, която Венера създава на Марс ще бъде:

E_V \sim A_V E_{0V} \pi R_V^2 / r_{Ve}^2

където $A_V$ е албедото на Венера, а $R_V$ е нейният радиус.

E_V \sim A_V L \pi R_V^2 / (r_M^2 - r_V^2)\, r_V^2

По същия начин за видимия блясък на Земята в максимална елонгация получаваме:

E_T \sim A_T L \pi R_T^2 / (r_M^2 - r_T^2)\, r_T^2

където с индекс $T$ са означени аналогичните величини за Земята. Отношението на видимия блясък на венера към този на Земята ще бъде:

E_V / E_T \sim (A_V / A_T)(R_V / R_T)^2 (r_T / r_V)^2 (r_M^2 - r_T^2) / (r_M^2 - r_V^2)

За средно разстояние на Марс до Слънцето пресмятаме:

E_V / E_T \approx 2.2

Венера е около 2.2 пъти по-ярка от Земята. Ако елонгацията на Венера се наблюдава при средно разстояние на Марс до Слънцето, а елонгацията на Земята – при перихелийно разстояние, то:

E_V / E_T \approx 1.5

Когато Марс е в перихелий, той става значително по-близък до Земята в максимална елонгация и това наистина чувствително увеличава нейния видим блясък, но все пак тя си остава по-слаба от Венера.

Оригинал в Архива: NOA3_2008_9-10problems.pdf · официални решения: NOA3_2008_9-10solutions.pdf