НОА 2008, IV кръг, Младша възраст — Задача 2. Наблюдение на окултация на звезда от астероид

• А) Астероидът е близо до опозиция, затова сянката се движи по земната повърхност от изток на запад. Да, посоката зависи от конфигурацията: близо до квадратура относителното движение на сянката е от запад на изток.

  В опозиция Земята „изпреварва“ сянката, тъй като орбиталната ѝ скорост е по-голяма от тази на астероида.

• Б) Получава се контур на заек (двурога форма); дебелината на астероида е между 80 и 120 км.

  $r = R/p = 1.5$ AU, $V_T = \mu r \approx 8$ km/s; хордите се пресмятат по $l = V_T t$ и се транслират на $V_T\Delta t$ спрямо наблюдател 1.

• В) $T \approx 1{,}8\ \text{год.}$

  $a = r + 1 = 1.5 + 1 = 2.5$ AU; от третия закон на Кеплер $a[\text{AU}]^3 / T[\text{год.}]^2 = 1$.

Решение:

А) Датата на окултацията е 17 юни, т.е. съвсем близо до лятното слънцестоене. От друга страна координатите на звездата, респективно и на астероида, сътоветстват на положение около точката зимното слънцестоене. Можем да направим извода, че астероидът се намира много близо до опозиция. Понеже астероидът е на орбита с по-голям радиус от орбиталния радиус на Земята, то неговата скорост е по-малка от земната. Следователно, Земята „изпреварва” сянката му. Това означава, че по земната повърхност сянката се движи от изток на запад, или в посока обратна на посоката на движение на Земята по орбитата й. Начертаваме тази посока върху схемата.

Посоката на движение на сянката зависи от конфигурацията на астероида и Земята. Когато позицията на астероида е близка до някоя от квадратурите например, цялата орбитална скорост на Земята е насочена към него. Тогава планетата ни не се движи спрямо сянката на астероида и относителното движение на сянката по земната повърхност е в посока на орбиталното движение на астероида. То е в същата посока като движението и на Земята – от запад на изток.

Б) Първо привеждаме общите съображения, въз основа на които работим. Звездата се намира много далеч от нас и затова считаме, че идващият от нея светлинен сноп е успореден. Следователно, сянката (областта от която се вижда окултацията на звездата) има контур, отговарящ на профила на астероида. С течение на времето тази сянка се придвижва по земната повърхност и различни наблюдатели могат да наблюдават окултацията. През всеки наблюдател преминава една хорда от този контур с определена дължина l.

За времето на окултацията t сянкатата очевидно изминава път l по траекторията си. Нейната скорост е равна на тангенциалната компонента на скоростта на астероида относно Земята $V_\tau$. Тя може да бъде изразена като произведение на ъгловото преместване за единица време $\mu$ и разстоянието $r$ от Земята да астероида. Разстоянието пресмятаме, използвайки дадения ни денонощен паралакс $p$ и радиуса на Земята $R$. Така получаваме:

След като за време t астероидът се премества на разстояние l, то $l = V_T t = \mu r t$. Оттук следва, че всеки наблюдател, като измерва продължителността на покритието, може да пресметне дължината на преминалата през него хорда. Спрямо всички наблюдатели сянката се движи в една и съща посока, т.е. през тях преминават успоредни една на друга хорди от профила. Използвайки горната формула, получаваме за хордите, преминали през всички наблюдатели:

За наблюдателите, които са наблюдавали две покрития, интервалите от време между края на първото и началото на второто са:

Следователно разстоянията между края на първото покриване и началото на второто са:

За да получим профила е необходимо да нанесем хордите в еднакъв мащаб в един и същи момент от време. За мащаб избираме 1 см = 20 км. Начертаваме ос Ох по посока на движението на сянката. За всеки наблюдател нанасяме съответната хорда така, че началото й да лежи в точката на наблюдателя, успоредно на Ох. За тези, които са наблюдавали две закривания, чертаем и двете хорди с прекъсването между тях. След като сме изпълнили тази процедура, остава да намерим положението на всички хорди в един и същи момент от време, например началото на окултацията за наблюдател 1. За тази цел правим следното. Намираме времената между началото на окултацията за първия и всички останали наблюдатели. Техните стойности са:

Ако за даден наблюдател интервалът е $\Delta t$, то за него хордата трябва да се премести на разстояние $V_T \Delta t$ в посока обратна на движението на сянката, тъй като през наблюдател 1 тя е минала първо. Оттук получаваме, че разстоянията, на които трябва да се транслират хордите, са:

Сега вече имаме положенията на хордите в момента, в който започва окултацията за наблюдател 1. За да получим окончателно профила, свързваме краищата на хордите. Понеже астероидът е близо до зенита, то не се налага да разглеждаме деформация поради проекцията на сянката върху сферата. Получава се контур на заек. От мащаба на хордите намираме, че дебелината на астероида е между 80 и 120 км.

В) Получихме, че разстояните до астероида е r = 1.5 AU. Понеже той е в опозиция, радиусът на неговата орбита е a = 1.5 + 1 = 2.5 AU. От третия закон на Кеплер за търсения период Т имаме, $a[\text{AU}]^3 / T[\text{год.}]^2 = 1$, откъдето пресмятаме $T \approx 1{,}8$ год.