Съдържание

НОА 2009, II кръг (областен), 11–12 клас — Задача 5. Венера

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2009

XII Национална олимпиада по астрономия 2009, II кръг, ученици от 11-12 клас · 8 март 2009 г.

Условие

Орбиталният период на движение на Венера около Слънцето е 224.7 денонощия. Венера е забележителна с това, че се върти около оста си обратно на посоката на орбиталното си движение около Слънцето. Както е известно, приливното въздействие на Земята е оказало влияние върху околоосното въртене на Венера. Затова сега винаги при долно съединение Венера е обърната с една и съща своя страна към Земята.

• Въз основа на тези данни пресметнете периода на околоосно въртене на Венера (звездно денонощие), като имате предвид, че той е по-дълъг от една венерианска година и по-кратък от една земна година.

• Пресметнете продължителността на слънчевото денонощие за Венера.

Отговори

Решение

Нека в даден момент Земята и Венера са в положение 1 на схемата и Венера е в долно съединение. Точката A се намира около центъра на обърнатата към Земята страна на Венера. Нека следващото долно съединение се случва, когато Земята и Венера се намират в положение 2.

Слънцето в центъра, орбитите на Венера и Земята; положение 1 (долу) и положение 2 (горе вляво), ъгли α и β в центъра, точка A на повърхността на Венера.

Интервалът от време между тези два момента е равен на синодичния период на Венера. Означаваме дадения ни орбитален период на Венера, който е сидеричният й период, с $T_{SID} = 224.7$ d, а с $T_0 = 365.25$ d – орбиталния период на Земята. Пресмятаме синодичния период на Венера $T_{SYN}$ от формулата:

\frac{1}{T_{SYN}} = \frac{1}{T_{SID}} - \frac{1}{T_0}

T_{SYN} = \frac{T_{SID}\,T_0}{T_0 - T_{SID}}

T_{SYN} \approx 583.93\ \mathrm{d}

За този период от време Земята е направила една обиколка около Слънцето и част от следващата обиколка в продължение на $T_{SYN} - T_0 = 218.68$ d. За това време Земята е изминала ъгъл от своята орбита:

\alpha = \frac{218.68}{365.25}\cdot360° \approx 215.54°

За целия синодичен период на Венера $T_{SYN}$ планетата се е завъртяла около оста си така, че в положение 2 тя отново е обърната към Земята със същата си страна. Това се вижда от положението на точка A на схемата при второто долно съединение на Венера. Да намерим ъгъла $\beta_1$ , на който се е завъртяла около оста си Венера за това време. Тя се върти около оста си обратно на движението си по орбитата. Както можем да се убедим от схемата, $\beta_1 = \beta + n\cdot360°$ , където $\beta = 360° - \alpha = 144.46°$ . Нека приемем, че $n = 0$ . Тогава за време $T_{SYN} \approx 583.93$ d Венера трябва да се е завъртяла на ъгъл $\beta_1 = 144.46°$ около оста си, което означава, че периодът й на околоосно въртене е по- голям от 583.93 денонощия. Но по условие този период е по-кратък от една земна година. Да разгледаме случая, когато $n = 1$ . Тогава $504.46°$ . Периода на околоосно въртене на Венера намираме от съотношението:

P = \frac{360°}{\beta_1}\,T_{SYN} \qquad\qquad (1)

P = 416.71\ \mathrm{d}

Отново получаваме период по-голям от една година. Нека сега $n = 2$ , при което $\beta_1 = 864.46°$ . Отново използваме формула (1), за да пресметнем периода:

P = 243.17\ \mathrm{d}

Най-после получаваме стойност, която отговаря на условието да е по-голяма от една венерианска година и по-малка от една земна година. Лесно можем да проверим, че при по-големи стойности на $n$ вече ще се получат периоди по-малки от една венерианска година. Следователно единственото решение е, че периодът на околоосно въртене на Венера е около 243 денонощия, което отговаря и на действителната стойност.

Слънчевото денонощие на Венера $P'$ можем да намерим по формулата:

\frac{1}{P'} = \frac{1}{P} + \frac{1}{T_{SID}}

в която знакът „+“ фигурира поради това, че околоосното въртене на Венера е в обратна посока на орбиталното й движение около Слънцето.

P' = \frac{T_{SID}\,P}{T_{SID} + P}

P' \approx 116.8\ \mathrm{d}

През такъв период от време се сменят денят и нощта на Венера.

Оригинал в Архива: NOA2_2009_11-12problems.pdf · официални решения: NOA2_2009_11-12solutions.pdf