Съдържание

НОА 2009, III кръг (национален), 7–8 клас — Задача 1

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2009

XII Национална олимпиада по астрономия 2009, национален кръг, тема за възрастова група 7-8 клас · 11 април 2009 г.

Условие

Вие членувате в клуб на смелите пътешественици със странни идеи. Решили сте да направите пътуване по суша и море, като се движите само по гринуичкия меридиан. Ориентирате се по звездите. Наблюдавате звездата Феркад ( $\gamma$ Малка мечка) с деклинация $\delta = 72^\circ$ и измервате нейната височина в горна кулминация. Оказва се, че всеки ден височината й е с $1^\circ$ по-голяма отколкото предния ден. В каква посока се движите? С каква скорост?

На 9 май Феркад се наблюдава в горна кулминация около 0 h по гринуичко време. Приблизително каква е ректасцензията на звездата?

Отговори

Решение

Деклинацията на Феркад е $72^\circ$ . При видимото си движение по небето тя описва денонощния паралел $aa'$ с радиус $90^\circ - 72^\circ = 18^\circ$ . На различни географски ширини са възможни различни случаи. Може в горна кулминация звездата да е на юг, както е на схема 1). Височината на звездата над хоризонта в горна кулминация се измерва от точката S на хоризонта до $a'$ .

Схеми 1) и 2) към решението на задача 1 – горна кулминация на Феркад съответно на юг и на север от зенита.

Тогава, ако с всеки следващ ден височината над хоризонта на звездата в горна кулминация е по-голяма, клубът на пътешествениците се движи на юг – вследствие на това северният небесен полюс P се отклонява все повече и повече от зенита за наблюдателя и точката, в която Феркад кулминира, се вдига все по-високо над хоризонта. Това е валидно за географска ширина $\varphi$ на наблюдателя, за която:

90^\circ - \varphi + \delta < 90^\circ \qquad \text{или} \qquad \varphi > \delta

Тук $\delta$ е деклинацията на Феркад.

Възможно е, обаче, Феркад да бъде в горна кулминация на север, както ни убеждава схема 2). В този случай височината на звездата над хоризонта в горна кулминация се измерва от точката N на хоризонта до $a'$ . Сега ако пътешествениците наблюдават увеличаване на височината над хоризонта на Феркад в горна кулминация, те се движат на север. Тава става, когато $\varphi < \delta$ . Накрая нека не забравяме, че когато пътешествениците навлязат достатъчно на юг в южното полукълбо, то те няма да виждат Феркад над хоризонта.

Щом височината на звездата се увеличава с $1^\circ$ на ден, с толкова се променя и географската ширина на пътешествениците. Дължината $s$ на дъга от един градус по земната повърхност можем да изчислим примерно така:

s = \frac{2\pi R}{360^\circ}

където $R$ е земният радиус. За скоростта на пътешествениците получаваме:

v = \frac{s}{24^\mathrm{h}}

v \approx 4.6 \ \text{км/час}

Звездата е в горна кулминация на 9 май в полунощ. Тогава Слънцето е на $180^\circ$ , или $12^\mathrm{h}$ от звездата по ректасцензия. Да намерим ректасцензията на Слънцето. Датата 9 май е определен брой дни след пролетното равноденствие на 21 март:

10 (от март) + 30 (април) + 9 (май) = 49 дни

При пролетното равноденствие Слънцето е имало ректасцензия, равна на 0. На 9 май тя е:

\alpha_s = \frac{49 \ \text{дни}}{365.25} \cdot 360^\circ

\alpha_s \approx 48^\circ \approx 3^\mathrm{h}12^\mathrm{m}

Така за ректасцевзята на звездата получаваме:

\alpha = \alpha_s + 180^\circ = \alpha_s + 12h

\alpha \approx 228^\circ \approx 15^\mathrm{h}12^\mathrm{m}

Оригинал в Архива: NOA3_2009_7-8problems.pdf · официални решения: NOA3_2009_7-8solutions.pdf