НОА 2010, II кръг (областен), 5–6 клас — Задача 5

• • Четвърта по ред на отдалечаване от звездата – намира се между планетите C и D.

  От планетата D нататък разликата между максималното и минималното разстояние е една и съща, равна на $2r_0 = 2$.

• • A: 0.25; B: 0.47; C: 0.66; D: 3.42; E: 6.27; F: 12.6; G: 19.8 (в единици от разстоянието на родната планета до звездата).

  $r = r_{max} - r_0$, като $r_0 = 1$. 2 т. за вътрешните и 2 т. за външните планети.

Виждаме, че в планетната система на извънземните космонавти освен родната им планета има още 7 други. Някои от планетите може би са по-близо до тяхната звезда, отколкото родната планета, а други – по-далеч. В първия случай планетите се наричат вътрешни, а във втория – външни.

Да отбележим разстоянието до централната звезда на родната планета на извънземните с $r_0$, а разстоянията до звездата на една вътрешна и една външна планета съответно с $r_1$ и $r_2$. От схемата се вижда, че ако планетата е вътрешна, то тя се намира на минимално разстояние от родната планета на извънземните, когато е в точка $1'$ по своята орбита, а на максимално разстояние, когато е в точка $1''$. Виждаме, че максималното разстояние на такава планета до планетата на извънземните е по-голямо от минималното разстояние с $2r_1$ – т.е. с удвоеното разстояние на вътрешната планета до звездата.

Съответно една външната планета се намира на минимално разстояние от планетата на извънземните, когато е в точка $2'$, а на максимало разстояние, когато е в точка $2''$. Тук виждаме, че максималното разстояние на такава планета до планетата на извънземните е по-голямо от минималното разстояние с $2r_0$, или с удвоеното разстояние на планетата на извънземните до звездата. От таблицата виждаме, че от планетата D нататък разликите между максимално и минималното разстояние са еднакви и равни на 2. В условието е казано, че разстоянията са дадени в единици, равни на разстоянието от родната планета на извънземните до тяхната звезда. Оттук можем да заключим, че родната планета на неизвестните космонавти е четвърта по ред на отдалечаване от звездата, или че тя се намира между планетите C и D.

Да означим максималното разстояние от планетата на извънземните до някоя друга планета с $r_{max}$. От схемите се вижда, че за вътрешна планета максималното разстояние до планетата на извънземните е в сила равенството:

За външна планета:

Тъй като $r_0 = 1$, то разстоянието на всяка от планетите до звездата ще получим, като от максималното разстояние за тази планета до планетата на извънземните извадим единица:

• За планетата A: $1.25 - 1 = 0.25$
• За планетата B: $1.47 - 1 = 0.47$
• За планетата С: $1.66 - 1 = 0.66$
• За планетата D: $4.42 - 1 = 3.42$
• За планетата Е: $7.27 - 1 = 6.27$
• За планетата F: $13.6 - 1 = 12.6$
• За планетата G: $20.8 - 1 = 19.8$

Критерии за оценяване (10т.):

• За правилно обяснение и представяне чрез схема на случаите, когато разстоянието от дадена планета до планетата на извънземните е минимално / максимално – 3 т.
• За определяне коя по ред е планетата на извънземните и обосновка - 3 т.
• За определяне на разстоянията до вътрешинте планети – 2 т.
• За определяне на разстоянията до външните планети – 2 т.