НОА 2010, II кръг (областен), 7–8 клас — Задача 5

• • Четвърта по ред на отдалечаване от звездата – намира се между планетите C и D.

  От планетата D нататък разликата между максималното и минималното разстояние е една и съща, равна на $2r_0 = 2$.

• • A: 0.25; B: 0.47; C: 0.66; D: 3.42; E: 6.27; F: 12.6; G: 19.8 (в единици от разстоянието на родната планета до звездата).

  $r = r_{max} - r_0$, като $r_0 = 1$. 2 т. за вътрешните и 2 т. за външните планети.

Виждаме, че в планетната система на извънземните космонавти освен родната им планета има още 7 други. Някои от планетите може би са по-близо до тяхната звезда, отколкото родната планета, а други – по-далеч. В първия случай планетите се наричат вътрешни, а във втория – външни.

Да отбележим разстоянието до централната звезда на родната планета на извънземните с $r_0$, а разстоянията до звездата на една вътрешна и една външна планета съответно с $r_1$ и $r_2$. От схемата се вижда, че ако планетата е вътрешна, то тя се намира на минимално разстояние от родната планета на извънземните, когато е в точка $1'$ по своята орбита, а на максимално разстояние, когато е в точка $1''$. Виждаме, че максималното разстояние на такава планета до планетата на извънземните е по-голямо от минималното разстояние с $2r_1$ – т.е. с удвоеното разстояние на вътрешната планета до звездата.

Съответно една външната планета се намира на минимално разстояние от планетата на извънземните, когато е в точка $2'$, а на максимало разстояние, когато е в точка $2''$. Тук виждаме, че максималното разстояние на такава планета до планетата на извънземните е по-голямо от минималното разстояние с $2r_0$, или с удвоеното разстояние на планетата на извънземните до звездата. От таблицата виждаме, че от планетата D нататък разликите между максимално и минималното разстояние са еднакви и равни на 2. В условието е казано, че разстоянията са дадени в единици, равни на разстоянието от родната планета на извънземните до тяхната звезда. Оттук можем да заключим, че родната планета на неизвестните космонавти е четвърта по ред на отдалечаване от звездата, или че тя се намира между планетите C и D.

Да означим максималното разстояние от планетата на извънземните до някоя друга планета с $r_{max}$. От схемите се вижда, че за вътрешна планета максималното разстояние до планетата на извънземните е в сила равенството:

За външна планета:

Тъй като $r_0 = 1$, то разстоянието на всяка от планетите до звездата ще получим, като от максималното разстояние за тази планета до планетата на извънземните извадим единица:

• За планетата A: $1.25 - 1 = 0.25$
• За планетата B: $1.47 - 1 = 0.47$
• За планетата C: $1.66 - 1 = 0.66$
• За планетата D: $4.42 - 1 = 3.42$
• За планетата E: $7.27 - 1 = 6.27$
• За планетата F: $13.6 - 1 = 12.6$
• За планетата G: $20.8 - 1 = 19.8$

Критерии за оценяване (10т.):

• За правилно обяснение и представяне чрез схема на случаите, когато разстоянието от дадена планета до планетата на извънземните е минимално / максимално – 3 т.
• За определяне коя по ред е планетата на извънземните и обосновка - 3 т.
• За определяне на разстоянията до вътрешинте планети – 2 т.
• За определяне на разстоянията до външните планети – 2 т.

Справочни данни:

Радиус на Земята 6370 км

Радиус на Луната 1740 км

Разстояние от Земята до Луната 384 000 км

Радиус на Юпитер 71 000 км

Разстояние от Юпитер до Слънцето 5.2 AU

Орбитален период на Юпитер 11.86 години.

Разстояние от Земята до Слънцето 150 000 000 км.