НОА 2010, II кръг (областен), 9–10 клас — Задача 5
XIII Национална олимпиада по астрономия 2010, областен кръг, ученици от 9-10 клас · 6 март 2010 г. · 10 т.
Условие
Сириус и Процион са едни от най-близките до нас звезди. През 1844 година великият немски астроном Фридрих Бесел забелязва, че траекториите им по звездното небе са странни вълнообразни линии. Той предполага, че всяка от тези звезди има спътник, с маса почти колкото Слънцето. Твърдението е посрещнато с недоверие, защото звездите-спътници би трябвало ясно да се виждат. Но по-късно спътниците на Сириус и Процион са открити чрез астрономически наблюдения като много слаби звезди. Изглеждало много странно толкова масивни звезди да имат толкова малък видим блясък на толкова малки разстояния от нас. Впоследствие обектите, подобни на тези необикновени звезди, са наречени бели джуджета.
• Какви са типичните размери на белите джуджета? [1 т.]
• Звездата Процион е с радиус два пъти по-голям от радиуса на Слънцето, видима звездна величина приблизително и температура 6650 К. Нейният спътник Процион В има звездна величина приблизително и температура 7740 К. Докажете, че Процион В е бяло джудже.
Упътване: Когато видимият блясък на една звезда се различава с от този на друга звезда, то осветеностите, които тези звезди създват, се отнасят както 1:100. Мощността на светене (светимостта) на една звезда е пропорционална на втората степен на нейния радиус и четвъртата степен на температурата на звездата. [9 т.]
Отговори
• Размери, сравними с размерите на Земята.
•
Разлика от 10^m ⇒ LB/L = 1/10000. Оттук RB/R ≈ 0.0074, т.е. Процион В е около 135 пъти по-малък по диаметър от Процион, около 68 пъти по-малък от Слънцето и около 1.6 пъти по-голям от Земята – диаметър около 20000 км, т.е. бяло джудже.
Решение
Решение:
Белите джуджета са извънредно плътни обекти, в които се превръщат звездите с не много големи маси в края на своята еволюция. Характерните размери на белите джуджета са сравними с размерите на Земята.
Разликата между звездните величини на Процион и неговия спътник Процион В е:
Следователно осветеността, която спътникът създава, е 10 000 пъти по-слаба от осветеността, създавана от Процион. (Звезда от звездна величина би създавала 100 пъти по -слаба осветеност от Процион, а звезда от звездна величина би създавала 100 пъти по-слаба осветеност от звездата от звездна величина ). Тъй като Процион и Процион В са на практически еднакво разстояние от нас, можем да смятаме, че светимостта на Процион В е също 10 000 пъти по-слаба от светимостта на Процион . Да означим радиусите на двете звезди съответно с и , а температурите – с и . За светимостите можем да напишем:
Оттук получаваме:
От реципрочната стойност на този резултат виждаме, че Процион В е около 135 пъти по-малък по диаметър от Процион. Звездата Процион е два пъти по-голяма по диаметър от Слънцето. Като знаем, че Земята е около 110 пъти по-малка по диаметър от Слънцето, стигаме до извода, че спътникът Процион В е сравним по размери със Земята. Така че най-вероятно този обект е бяло джудже. По-точно, Процион В е пъти по-малък от нашето Слънце, или пъти по-голям от Земята. Като използваме диаметъра на Земята, за диаметъра на Процион В получаваме около 20000 км.
Забележка: Тъй като изходните данни за звездните величини в тази задача са закръглени с цел улесняване на решението, крайните резултати се различават леко от резултатите, получени при решението на по-точния вариант на задачата, даден за 11-12 клас.
Критерии за оценяване (10т.):
За първото подусловие – 1 т.
За пресмятане на отношението на светимостите на Процион и Процион В – 3 т.
За пресмятане на отношението на радиусите – 3 т.
За обосновката защо Процион е бяло джудже – 3 т.
Справочни данни:
Радиус на Земята 6370 км
Радиус на Луната 1740 км
Разстояние от Земята до Луната 384 000 км
Радиус на Юпитер 71 000 км
Разстояние от Юпитер до Слънцето 5.2 AU
Орбитален период на Юпитер 11.86 години.
Разстояние от Земята до Слънцето 150 000 000 км.
Оригинал в Архива: NOA2_2010_9-10problems.pdf · официални решения: NOA2_2010_9-10solutions.pdf