НОА 2010, IV кръг, Младша възраст, теория и практическа задача — Задача 1. „Претегляне” на Слънцето

• • Максимална е през март, минимална – през септември. Алдебаран е в зодиакалното съзвездие Бик, т.е. близо до еклиптиката; Слънцето е в Бик през юни, значи звездата е в опозиция през декември. Три месеца преди опозицията (септември) Земята се движи право към звездата – минимална лъчева скорост; три месеца след опозицията (март) Земята се отдалечава най-бързо – максимална лъчева скорост.

  Съгласно решението и схемата към него.

• • $r = \dfrac{V_{\text{З}}T}{2\pi} \approx 150\ \text{млн. км}$

  $V_{\text{З}} = (V_{max} - V_{min})/2 = 30$ km/s при $T = 1$ година.

• • $M_0 = \dfrac{V_{\text{З}}^{2} r}{\gamma} \approx 2\times 10^{30}\ \text{kg}$

  От условието за кръгова скорост $V_{\text{З}} = \sqrt{\gamma M_0 / r}$.

Решение:

Промяната на лъчевата скорост на Алдебаран спрямо земния наблюдател се дължи на орбиталното движение на Земята около Слънцето. Понеже във всеки един момент скоростта на планетата ни е насочена в различно направление, то постоянно се изменя и лъчевата скорост на всяка звезда, включително и на Алдебаран, относно земния наблюдател. Земята обикаля около Слънцето с период един година, поради което и лъчевата скорост на звездите спрямо нея се изменя с такъв период.

Звездата Алдебаран е разположена в зодиакалното съзвездие Бик. Можем да приемем, че е близо до еклиптиката, т.е. намира се почти в равнината, в която се осъществява движението на Земята около Слънцето. Следователно има периоди в година, през които планетата ни се приближава или отдалечава директно към или от тази звезда. В първия случай лъчевата скорост на Алдебаран е минимална, а във втория е максимална. Сънцето е в съзвездието Бик през юни. Т.е. звездата е в опозиция спрямо Слънцето през декември. Земята се приближава директно към нея 3 месеца преди опозицията й, или през септември. Тогава е и моментът на минимална лъчева скорост на Алдебаран. Аналогично, моментът, в който планетата ни се отдалечава най-бързо от звездата, или моментът, в който лъчевата скорост е максимална, е три месеца след опозицията – през март.

Самата звезда се движи в Галактиката и има собствена лъчева скорост спрямо Слънцето. Ако означим с $V_0$ лъчевата скорост на Алдебаран за наблюдател на Слънцето, а с $V_{\text{З}}$ орбиталната скорост на Земята, то дадените ни минимална и максимална лъчева скорост на звездата са съответно:

Оттук следва, че:

Орбиталният период на Земята е $T = 1$ година, следователно радиусът на орбитата й е:

Понеже считаме земната орбита за кръгова, то скоростта на Земята по нея е равна на кръговата скорост за това разстояние от Слънцето. Ако $M_0$ е масата на Слънцето, то:

където $\gamma$ е гравитационната константа. По-нататък намираме: