НОА 2010, IV кръг, Старша възраст — Задача 2. Двойна звезда

• • Кривата е дадена в решението: остри минимуми с еднаква амплитуда, но несиметрично разположени във времето — интервалът между главния и следващия го вторичен минимум е много по-къс от интервала до следващия главен минимум, защото в периастъра орбиталната скорост е по-голяма, отколкото в апоастъра.

• • $i = \arcsin\frac{2\pi'' R}{\delta''(1-e)\cdot 1\,\text{AU}} = 5'40''$ ≈ $6$ дъгови минути

  Пресметнатият максимален наклон, при който още се наблюдават затъмнения, е отпечатан като $i = 5'40''$; в решението минималният ъгъл, при който затъмнения няма да се наблюдават, е закръглен на „приблизително 6 дъгови минути“.

• • $T_1 = \frac{4R}{v_p} = 51\ \text{h},\qquad T_2 = \frac{4R}{v_a} = 111\ \text{h}$

  Отпечатано в решението като „T1 = 51 h“ и „T2 =111 h“.

Решение:

Относителната орбита се получава, когато разглеждаме движението на звездите в система, в която едната звезда е неподвижна, а другата обикаля около нея. Щом голямата ос на относителната орбита на двойната система е насочена към нас, то тя ще бъде перпендикулярна на лъча на зрение за наблюдателя от планетата X.

Тъй като орбитата е силно елиптична, то за извънземния наблюдател, намиращ се в посока перпендикулярна на голямата ос на двойната звезда, в кривата на блясъка вторичният минимум няма да бъде симетричен спрямо главните минимуми. Както се вижда от схемата, от момента, когато звездата В закрива звездата А, до момента, когато звездата В премине зад звездата А, минава значително по-малко време, отколкото от момента, когато звездата В преминава зад звездата А, до момента, когато звездата В отново закрива звездата А. Причината е не само в различния път по орбитата, който звездата В преминава в двата случая, но и в това, че съгласно втория закон на Кеплер, в периастъра орбиталната скорост е по-голяма, отколкото в апоастъра на орбитата. Вторичният и главният минимум са остри и еднакви по амплитуда, защото двете компоненти са еднакви. Строго погледнато обаче, графиките на самите минимуми няма да са симетрични. Спадането на блясъка при главния минимум ще е малко по-бавно, отколкото покачването на блясъка, понеже орбиталната скорост на звездата В по време на този минимум ще нараства с приближаването към периастрия. При вторичния минимум скоростта ще намалява с отдалечаването от периастрия и неговата графика ще бъде огледална на главния минимум.

За извънземния наблюдател кривата на блясъка ще изглежда по следния начин:

Щом звездите са от спектрален клас F5 и се намират на главната последователност, то те са от V клас светимост. От таблицата с астрофизичните характеристики на звездите виждаме, че такива звезди имат среден радиус 1.3 слънчеви радиуса или 900 000 км. Най-малкият възможен ъгъл, при който не се наблюдават затъмнения, се определя от следния чертеж:

където а е голямата полуос на орбитата в астрономически единици, е е ексцентрицитетът, $\delta''$ ъгловият размер на голямата полуос, видима от разстоянието, на което се намираме, $\pi''$ e паралаксът на двойната система. Заместваме и получаваме за максималния наклон на орбитата следния израз:

Минималният възможен ъгъл на наклона на орбитата на двойната звезда спрямо зрителния лъч, при който няма да наблюдаваме затъмнения, е приблизително 6 дъгови минути.

Времето на едно централно затъмнение ще бъде равно на времето, за което едната звезда изминава два пъти своя диаметър. Главният и вторичният минимум ще бъдат различни по продължителност в зависимост от това дали затъмнението се случва в периастъра на относителната орбита, или в апоастъра.

Кривата на блясъка би изглеждала по следния начин: