Съдържание

НОА 2010, IV кръг, Старша възраст — Задача 4. Небе в звезден куп

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2010

XIII Национална олимпиада по астрономия, IV кръг, 11 юли 2010 г., София, теоретичен тур, ученици старша възраст (до 18 г.) · 11 юли 2010 г.

Условие

4 задача. Небе в звезден куп. Общата звездна величина, характеризираща светенето на цялото видимо нощно небе заедно със звездите на Земята, е – $7^m$ . След като е изучил всички съзвездия на земното небе, астрономът Констанин Гундев отлита към странна планета в странен кълбовиден куп от обратната страна на Галактиката, тъй като само на такова място вече разучаването на звездите е достойна задача за него. Радиусът на звездния куп е 20 рс. Всички звезди в него имат абсолютна звездна величина $3^m$ . Купът съдържа 200 000 звезди, равномерно разпределени в целия му обем. Каква ще бъде общата звездна величина, характеризираща светенето на нощното небе на странната планета?

Отговори

Решение

Решение:

Нека $E_{10}'$ е осветеността, която една звезда с абсолютна звездна величина $3^m$ създава на разстояние 10 рс. Да пресметнем общата осветеност $E_r$ , която създават за наблюдател в центъра на звездния куп всички звезди, намиращи се в сферичен слой от купа с радиус r и малка дебелина r.

Тъй като дебелината е малка, приблизителният обем на този слой пресмятаме като произведение на площта на вътрешната страна на слоя и дебелината:

\Delta V = 4\pi r^2 \Delta r

Две концентрични окръжности: външната с радиус R е границата на купа, вътрешната е защрихован пръстен с радиус r и малка дебелина Δr; от центъра излизат стрелки, означени r, Δr и R.

Да означим с $N = 200000$ общия брой звезди в звездния куп, а с R – неговия радиус. Обемът на целия куп ще бъде:

V = \frac{4}{3}\pi R^3

Броят звезди, съдържащи се в тънкия слой ще бъде:

\Delta N = N \cdot \frac{\Delta V}{V} = N \cdot \frac{3r^2 \Delta r}{R^3}

Осветеността, която създава една звезда от слоя за наблюдател в центъра на звездния куп, ще бъде:

E_r' = E_{10} \cdot \frac{10^2}{r^2}

където r е в парсеци. Общата осветеност от всички звезди в слоя ще бъде:

E_r = \Delta N \cdot E_r'

E_r = \frac{300 N E_{10}' \Delta r}{R^3}

Тук R и r също трябва да са в парсеци. Интересното в този резултат е, че както се оказва, общата осветеност от всички звезди в сферичния слой не зависи от неговия радиус r. Това означава, че ако разделим кълбовидния куп на множество такива концентрични слоеве със същата дебелина, но с различни радиуси, то звездите от всеки такъв слой ще имат еднакъв принос към общата осветеност, създавана в центъра на купа. Тъй като осветеността от даден слой е право пропорционална на дебелината му r, то общата осветеност от всички звезди в купа ще намерим, като сумираме приносите на всички слоеве:

E = \frac{300 N\, E_{10}'}{R^3}(\Delta r + \Delta r + \cdots) = \frac{300 N E_{10}'}{R^3}\cdot R

E = \frac{300 N E_{10}'}{R^2}

Звездната величина m , която съответства на тази осветеност, пресмятаме по формулата на Погсън. Сравняваме я с абсолютната звездна величина на една звезда от купа ( $3^m$ ):

\lg \frac{E}{E_{10}'} = 0.4(3 - m)

m = 3 - 2.5 \lg \frac{300N}{R^2}

m \approx -10^m

Има още един фактор, който създава фонова осветеност. Това са звездите от Галактиката, разположени извън купа. В условието се казва, че купът е от другата страна на Млечния път. Следователно можем да приемем, че там има същата концентрация на звезди, каквато и в околностите на Слънцето, т.е. че те дават същата сумарна звездна величина, равна на – $7^m$ . Това съответства на осветеност около 16 пъти по-малка отколкото от звездите в купа. Можем да смятаме, че приносът на звездите извън купа към общия блясък на небето няма да е съществен. Поради това заключаваме, че общата яркост на фона ще е около $-10^m$ .

За да се получи по-точна оценка за реален звезден куп, трябва да се отчете, че звездите не са от една и съща абсолютна звездна величина и не са равномерно разпределени в целия обем на купа.

Оригинал в Архива: NOA4_2010_STproblems.pdf · официални решения: NOA4_2010_STsolutions.pdf