НОА 2011, II кръг (областен), 11–12 клас — Задача 4. Стационарен спътник

• а 35800 км

  Радиусът на орбитата е $r \approx 42\,200$ км.

• б $\cos\varphi_{MAX} = \frac{R}{R+H}$ ≈ $81.3$ °

• в $\tan|\delta| = \frac{R\sin\varphi}{R + H - R\cos\varphi} \approx 0,12$ ≈ $-6.57$ °

  В оригинала: −6°34’.

• г Не

  Радиусът на такава орбита е около 1,5 млн. км, т.е. около 10 пъти по–голям от разстоянието (167 хил. км), на което слънчевата гравитация надделява над венерианската.

Решение:

а) Орбиталният период на геостационарния спътник трябва да е равен на едно звездно денонощие ($T_* = 23h56m04s$), защото това е интервалът от време, за който Земята прави едно пълно завъртане относно далечните и неподвижни звезди. За да има постоянна ъглова скорост, той трябва да се движи по кръгова орбита над земния Екватор с радиус r. Ако означим с $M_З$ масата на Земята, а с G – гравитационната константа, то съгласно третия закон на Кеплер:

Оттук получаваме:

Височината на спътника над земната повърхност е:

б)

На чертежа геостационарният спътник се намира в точка A, центърът на Земята е означен с O, т. B лежи точно на паралела, имащ максималната географска ширина, от която спътникът е видим, а т. C лежи на Екватора и се намира точно „под” спътника.

Очевидно: OB = OC = R = 6378 км, а OA = H+R = 35 800 км.

В триъгълника OAB можем да запишем следното равенство:

От тук намираме, че φ_MAX ≈ 81°,3.

в)

На чертежа с точка S сме означили положението на София, а със S'- проекцията на S върху равнината на земния Екватор.

От триъгълника OSS' можем да запишем:

SS' = OS.sin φ = R. sin φ

OS' = OS.cos φ = R. cos φ.

Понеже AO = R+H,

то S'A = OA-OS' = R+H – R.cosφ.

София не се намира на Екватора, а спътникът е сравнително близо до земната повърхност (на разстояние само около 5 земни радиуса от нея). Поради това от столицата ни той няма да се вижда на небесния екватор, а „под” него, т.е. деклинацията δ, на която ще го виждаме от тук, ще е отрицателна. За нейния модул, изхождайки от триъгълник SS'A, можем да запишем:

Оттук пресмятаме, че |δ|= 6°34' и понеже деклинацията е отрицателна, то стойността й е -6°34'.

г) Означаваме периода на въртене на Венера около оста с $T_V =$ 243 дни. Ако масата й е $M_V$, то радиусът на орбитата на нейния стационарен спътник е:

Нека да проверим на какво разстояне X от Венера нейното гравитационно поле става по–слабо от гравитационно поле на Слънцето. Означаваме с $M_{Сл}$ слънчевата маса, а с $r_V$ – радиуса на венерианската орбита. Можем да пресметнем, че масата на Слънцето е приблизително n = 400 000 пъти по–голяма от венерианската. Следователно, тъй като интересуващата ни точка се намира на правата Слънце – Венера, то разстоянието X трябва да е такова, че:

Така получаваме, че X има две възможни стойности, които са:

Пресмятаме:

X₁ = 167 хил. км и

X₂ = - 168 хил. км.

В първия случай точката, в която се постига равновесието, се намира между Венера и Слънцето, а във втория е „зад” Венера (поради което има и знак „-” пред разстоянието).

Виждаме, че радиусът на орбитата на стационарния спътник на Венера е около 10 пъти по–голям от полученото разстояние. Следователно Слънцето ще му влияе значително по–силно, отколкото Венера, и тя няма да успее да го задържи в орбита около себе си. Така стигаме до извода, че Венера не може да има стационарен спътник.

Критерии за оценяване:

а) За третия закон на Кеплер – 1 т.
За вярна крайна формула и числен резултат – 1 т.
б) За правилно геометрично представяне на ситуацията – 1 т.
За правилно написване на геометричните равенства – 0,5 т.
За верен резултат – 0,5 т.
в) За досещане, че спътникът няма да се вижда на небесния екватор – 1 т.
За правилни геометрични равенства – 1 т.
За правилен израз за деклинацията - 0,5 т.
За верен числен резултат – 0,5 т.
г) За намиране на радиуса на стационарния спътник на Венера – 1 т.
За досещане, каква може би е причината Венера да не може да има такъв спътник – 1,5 т.
За правилно изразяване на разстоянието от Венера, където гравитационните сили се изравняват, и верни числени отговори (ако е отчетено само едното разстояние се отнемат 0,5 т.) – 1 т.
За извод, че това не е възможно – 0,5 т.

(Общо за Задача 4. – 11 т.)

За верни и правилно използвани оригинални идеи или решения могат да се дадат до 2 т. допълнително към цялата задача.