Съдържание

НОА 2012, II кръг (областен), 11–12 клас — Задача 3. Международната космическа станция

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2012

XV Национална олимпиада по астрономия 2012, областен кръг, тема за възрастова група XI-XII клас · 23 февруари 2012 г. · 10 т.

Условие

Астроном любител фотографира преминаване на Международната космическа станция на фона на слънчевия диск. Астрономът се намира на екватора и в момента, когато станцията преминава през центъра на видимия слънчев диск, Слънцето за него е в зенита. Даденото ви изображение е получено чрез наслагване на кадри с последователните положения на станцията през определен интервал от време. Приемаме, че станцията се движи по кръгова екваториална орбита с височина над земната повърхност 387 км.

Фотография на оранжевия слънчев диск на тъмен фон, върху който се виждат седем малки тъмни силуета на космическата станция, подредени по линия, пресичаща диска приблизително по диаметъра му от долу-ляво към горе-дясно. — Наслагани кадри с последователните положения на Международната космическа станция на фона на слънчевия диск.

Видимият ъглов диаметър на Слънцето е $0.5°$ . Масата на Земята е $6\times10^{24}$ кг, радиусът ѝ е 6378 км, гравитационната константа е $\gamma = 6.67\times10^{-11}$ м $^3$ /кг.с $^2$ .

• Определете орбиталния период на станцията. [2 т.]

• През какъв интервал от време са направени кадрите с отделните положения на станцията? [8 т.]

Отговори

Решение

Решение:

Орбиталния период $T$ на станцията намираме с помощта на III закон на Кеплер:

a^3 / T^2 = \gamma M / 4\pi^2

където $a$ е радиусът на орбитата на станцията, $M$ е масата на Земята. Означаваме с $R$ радиуса на Земята и с $h$ височината на орбитата на станцията над земната повърхност. Получаваме последователно:

a = R + h

T = 2\pi\,(a^3 / \gamma M)^{1/2}

T \approx 5526\ \text{сек.} \approx 1.54\ \text{часа}

Линейната скорост на станцията ще бъде:

v = 2\pi\,(R + h) / T

v \approx 7.691\ \text{км/сек.}

За наблюдател на земната повърхност видимата ъглова скорост на движение на станцията в зенита ще бъде:

\omega = v / h

От снимката се вижда, че станцията пресича видимия слънчев диск приблизително по диаметъра. Ако означим с $\delta$ видимия ъглов диаметър на Слънцето, то времето, за което станцията пресича видимия слънчев диск ще бъде:

t = \delta / \omega = \delta\,h / v

където ъгълът $\delta$ е в радиани.

t \approx 0.439\ \text{сек.}

Разстоянието между две последователни заснети положения на орбиталната станция върху слънчевия диск се нанася приблизително 7.2 пъти по неговия диаметър. Следователно кадрите са направени през интервал от време:

t / 7.2 \approx 0.061\ \text{сек.}

По принцип тук трябва да отчетем и движението на точката от земната повърхност, където е наблюдателят, поради околоосното въртене на Земята. На екватора скоростта на това движение $v_1 = 2\pi R / T_1 \approx 0.465$ км/сек., където $T_1 = 23^{\mathrm{h}}\,56^{\mathrm{min}}$ е периодът на околоосно въртене на Земята. Виждаме, че в сравнение с линейната скорост на станцията, тази скорост е малка, но все пак не може да се пренебрегне. Станцията се движи по екваториална орбита. Да приемем, че движението ѝ е по посока на въртенето на Земята около нейната ос. Тогава за видимата ъглова скорост на станцията получаваме:

\omega = (v - v_1) / h

След това пресмятаме:

t \approx 0.4673\ \text{сек.}

t / 7 \approx 0.065\ \text{сек.}

Критерии за оценяване (общо 10 точки):

За определяне на орбиталния период на станцията – 2 т.
За правилен математически подход за определяне на видимата ъглова скорост на станцията – 3 т.
За отчитане на околоосното въртене на Земята – 2 т.
За пресмятане на времето за пресичане на слънчевия диск и интервала между отделните кадри – 3 т.

Оригинал в Архива: NOA2_2012_11-12problems.pdf · официални решения: NOA2_2012_11-12solutions.pdf