НОА 2012, II кръг (областен), 11–12 клас — Задача 5. Три планети

• • За двойката А и С.

  При тях разликата между орбиталните периоди (съответно между ъгловите скорости) е най-голяма, затова синодичният период е най-кратък.

• • $m_A \propto \frac{1}{r^2}\cdot\frac{1}{(3r)^2} = \frac{1}{9r^4},\qquad m_C \propto \frac{1}{(3r)^2}\cdot\frac{1}{r^2} = \frac{1}{9r^4},\qquad m_A = m_C$

  Планета А е на разстояние $r$ от звездата и $3r$ от В; планета С е на $3r$ от звездата и $r$ от В. Произведението на двата обратни квадрата е едно и също.

Решение:

Колкото по-голям е радиусът на орбитата на дадена планета около нейната звезда, толкова по-дълъг е нейният орбитален период. Следователно от трите планети най-кратък орбитален период има планетата А, а най-дълъг – планетата С. Колкото по-близки са орбиталните периоди на две планети, толкова по-рядко ще се случва те да застанат на една права със звездата от една ѝ страна. Такива взаимни разположения ще се случват по-рядко за двойките съседни планети – А и В, В и С. Най-често такива взаимни конфигурации ще се повтарят за двойката планети А и С, при които разликата между орбиталните периоди е най-голяма. По друг начин това може да се обясни чрез ъгловите скорости на движение на планетите по техните орбити. Разликата между ъгловите скорости на планетите А и С е най-голяма. Но тази разлика е равна на относителната ъглова скорост на едната планета спрямо отправна система, свързана със звездата и другата планета. Следователно именно при планетите А и С най-често ще се случва вътрешната планета (в случая А) да «застига» и «задминава» другата планета, т.е. по-често ще се случва двете планети да застават на една линия със звездата от едната ѝ страна.

Нека разстоянието от звездата до планетата А е $r$. Тогава разстоянието от звездата до планетата В е $2r$, а до планетата С е $3r$. Блясъкът на една планета е обратно пропорционален на квадрата на разстоянието $r_1$ до централното светило и обратно пропорционален на квадрата на разстоянието $r_2$ от наблюдателя до планетата:

Ако яркостта на планета С, наблюдавана от планета В, е $m_C$, то:

Планета А се намира на разстояние $3r$ от планета В и на растояние $r$ от централната звезда. Ако нейният блясък, при наблюдаването ѝ от планета В, е $m_A$, то:

Тъй като размерите и отражателните способности на планетите са еднакви, то $m_A = m_C$ и следователно двете планети ще се виждат еднакво ярки от планетата В.

Критерии за оценяване (общо 10 т.):

• За правилни разсъждения по първото подусловие – 3 т.
• За правилен отговор на въпроса – 1 т.
• За добра математическа постановка по второто подусловие – 5 т.
• За верен краен отговор - 1 т.