НОА 2012, II кръг (областен), 7–8 клас — Задача 2. Пилотиран полет до Марс

• • За 3 месеца (една четвърт от земната година) Земята изминава една четвърт от орбитата си, така че $T_2$ е на $90^\circ$ напред от $T_1$ по посока на движението.

• • За една земна година Марс изминава половината от орбитата си, така че $M_3$ е диаметрално противоположна на $M_2$; Земята прави пълна обиколка и $T_3$ съвпада с $T_2$.

• • Да. За тези три месеца Земята изминава една четвърт от орбитата си — точно от $T_3$ до $T_4$, където долита корабът; планирането е било правилно и екипажът се завръща благополучно.

• • Рак

  $M_1$ е на $45^\circ$ по-назад по марсианската орбита от $M_2$ (три месеца са една осма от орбиталния период на Марс); през май Слънцето е приблизително в съзвездието Овен, а Марс отстои от него на около $90^\circ$ на изток — третото зодиакално съзвездие след Овен, т.е. Рак.

Решение:

Корабът пътува до Марс 3 месеца. Това е една четвърт от земната година и за толкова време Земята ще опише една четвърт от своята орбита около Слънцето. В момента, когато корабът достигне до Марс, Земята ще бъде в точка $T_2$. Престоят на кораба върху Марс продължава една земна година, а периодът на движение на Марс около Слънцето е 2 земни години. За една земна година Марс ще опише половината от своята орбита и ще достигне до точка $M_3$. Земята за същото време ще направи една пълна обиколка по своята орбита и ще се върне в същата точка, където е била. Следователно точка $T_3$ съвпада с точка $T_2$.

От точка $M_3$ корабът тръгва пак по права линия към земната орбита и след три месеца стига до точка $T_4$. За тези три месеца Земята изминава една четвърт от орбитата си – точно колкото е разстоянието от точка $T_3$ до $T_4$. Това означава, че предварителното планиране на полета е било правилно и екипажът благополучно ще се завърне на родната планета.

В момента на тръгването на експедицията от Земята, Марс е бил в точка $M_1$ по своята орбита. Нейното положение определяме, като знаем, че полетът е продължил три месеца и за това време Марс се е придвижил до точка $M_2$. Три месеца представляват една осма от орбиталния период на Марс. Следователно точката $M_1$ трябва да е на $45^\circ$ по-назад по марсианската орбита от точка $M_2$.

Стартът на кораба от Земята е през месец май. Тогава за наблюдател от Земята Слънцето трябва да се намира в съзвездието Овен. Както е известно, през май Слънцето трябва да е в зодиакалния знак Бик, но поради прецесията на земната ос, понастоящем това съответства на положение на Слънцето приблизително в съзвездието Овен. На схемата орбитите на Земята и Марс са дадени в мащаб, съответстващ на средните разстояния на двете планети от Слънцето. Става ясно, че за земен наблюдател Марс в точка $M_1$ се намира на изток от Слънцето и отстои от него на ъгъл, близък до $90^\circ$ . Това означава, че тогава Марс трябва да се наблюдава от Земята в третото след Овен зодиакално съзвездие, което е Рак.

Критерии за оценяване (общо 8 точки):

За правилно определяне на положението на точка $T_2$ и обяснение – 1.5 т.

За правилно определяне на положенията на точки $T_3$ и $M_3$ – 3 т.

За определяне на положението на Земята в момента на завръщането на кораба и заключение за успешността на полета – 1.5 т.

За определяне на положението на Марс при старта на кораба от Земята – 1 т.

За определяне в кое съзвездие трябва да се вижда Марс тогава – 1 т.