НОА 2012, IV кръг, Младша възраст — Задача 2. Космическо съперничество

• • $m_M \approx -2{,}3^m$

  Отношението на осветеностите в опозиция е $E_M/E_J \approx 0{,}57$, т.е. Марс е с около $0{,}6^m$ по-слаб от Юпитер. Отпечатаната стойност е $-2{,}3^m$; от $-2{,}7^m + 0{,}6^m$ би следвало $-2{,}1^m$ — несъответствие в оригинала.

• • Да, възможно е. Албедото на Марс трябва да се увеличи около 1,74 пъти, т.е. до приблизително 0,3. При отражателен материал с албедо 1 Марс би станал около 3 пъти по-ярък от Юпитер.

  В решението за сегашно албедо на Марс е използвана стойността 0,17, докато в „Справочни данни“ е дадено 0.15.

Решение:

А) Въвеждаме следните означения:

$A_M$ и $A_J$ – отражателни способности на Марс и Юпитер;

$R_M$ и $R_J$ – радиуси на Марс и Юпитер;

$r_M$ и $r_J$ – радиуси на орбитите на Марс и Юпитер

$r_E$ – радиус на земната орбита.

Осветеността, която една планета създава върху Земята зависи от следните величини:

• Правопропорционално на площта на отразяващия диск;
• Правопропорционално на отражателната способност;
• Обратнопропорционално на квадрата на разстоянието до Слънцето;
• Обратнопропорционално на квадрата на разстоянието до Земята.

От тук следва, че отношението на осветеностите, които създават Марс и Юпитер в опозиция върху Земята (които са всъщност, техните максимални) е следното:

Замествайки с числените данни, получаваме, че това отношение е равно на 0,57. Следователно, използвайки закона на Погсон намираме, че блясъкът на Марс ще бъде с около $0{,}6^m$ по – слаб от този на Юпитер или максималната му звездна величина е $-2{,}3^m$.

Б) При покриването на Марс отражателния материал, то ние всъщност повишаваме неговата отражателна способност. Поради това, нараства и неговия видим блясък за Земята. Виждаме, че при сегашното си албедо (което е равно на 0,17), максималната яркост на Марс около 57% от максималната яркост на Юпитер. Понеже, яркостта зависи правопропорционално на албедото, то ние трябва да трябва да го увеличим 1,74 пъти, за да стане това което иска губернаторът. Следователно, това ще се реализира при албедо приблизително равно на 0,3.

Това означава, че желанието на краля е възможно. Нещо повече, ако се използва отражателен материал с албедо равно на 1 (цялата падаща светлина се отразява) то Марс ще стане около 3 пъти по – ярък от Юпитер.