НОА 2013, II кръг (областен), 11–12 клас — Задача 3. Космическа картина
XVI Национална олимпиада по астрономия 2013, областен кръг, възрастова група XI-XII клас · 23 февруари 2013 г. · 12 т.
Условие
Фантастичният пейзаж, който виждате, е от повърхността на Европа – спътник на Юпитер (Фиг. 1). Представете си, че наистина сте там, като член на бъдеща междупланетна мисия, и имате шанса да се любувате отблизо на величествената планета гигант.
- Дали наистина може да се види това, което е изобразено на картината? Изследвайте я внимателно, като направите необходимите построения и измервания и преценете правилно ли е нарисувана тя. Не обръщайте внимание на видимите размери на Слънцето и на звездното небе.
Фиг. 1. Космическа картина – Европа
Отговори
Картината не е правилно нарисувана: измереният от фазата фазов ъгъл е , а измереното ъглово отстояние между Юпитер и Слънцето е . Слънцето трябва да е приблизително на три пъти по-голямо ъглово разстояние от Юпитер при тази фаза.
Видим ъглов диаметър на Юпитер от Европа: .
Решение
Нека определим видимия ъглов диаметър на Юпитер за наблюдател от Европа. Трябва да имаме предвид, че Европа е доста близо до Юпитер и радиусът на нейната орбита е само около 9 пъти по-голям от радиуса на Юпитер. Затова използваме по-точни геометрични разсъждения. Да означим с радиуса на Юпитер, с радиуса на орбитата на Европа и с видимия ъглов радиус на Юпитер. Тогава:
Оттук за видимия ъглов диаметър на Юпитер получаваме:
За да е правилна рисунката, трябва да има правилно съотношение между фазата на Юпитер и видимото ъглово отстояние на Юпитер от Слънцето. Трябва да определим ъгловото разстояние между центровете на видимия диск на Юпитер и на Слънцето. Измерваме върху рисунката в милиметри разстоянието между центъра на Слънцето и границата на видимия диск на Юпитер. Използваме получения ъглов диаметър на Юпитер за мащаб и получаваме, че това разстояние съответства на 9.2°. Прибавяме видимия ъглов радиус на Юпитер и получаваме .
Сега нека разгледаме фазата на Юпитер.
Фиг. 2. Юпитер във фаза.
На Фиг. 2а е представен Юпитер така, както изглежда на рисунката за наблюдател от Европа. А на Фиг. 2б е показано как би изглеждал Юпитер при поглед откъм единия му полюс, означен със стрелка на Фиг. 2а. Означаваме с ширината на видимия от Европа светъл сърп на Юпитер. Ъгълът на Фиг. 2б е равен на ъгловото отстояние между центровете на Юпитер и Слънцето, понеже това са ъгли с взаимно перпендикулярни рамене. Можем да определим този ъгъл. Както се вижда от Фиг. 2б:
Измерваме върху рисунката и в милиметри и от горната формула пресмятаме:
Това не съответства на определеното по-горе чрез измерване ъглово разстояние между центровете на видимия диск на Юпитер и на Слънцето. Следователно картината не е правилно нарисувана. Слънцето трябва да е приблизително на три пъти по-голямо разстояние от Юпитер при тази фаза на планетата.
Критерии за оценяване (общо 12 т.):
За правилна логическа идея на решението – 3 т.
За определяне на видимия ъглов диаметър на Юпитер – 2 т.
За определяне на ъгловя мащаб на картината – 1 т.
За определяне на ъгловото разстояние между Юпитер и Слънцето – 1 т.
За теоретичен начин за определянето на фазовия ъгъл на Юпитер – 3 т.
За правилна числена оценка – 1 т.
За сравняване на стойностите и краен извод – 1 т.
Оригинал в Архива: NOA2_2013_11-12problems.pdf · официални решения: NOA2_2013_11-12solutions.pdf