Съдържание

НОА 2013, II кръг (областен), 11–12 клас — Задача 5. Два кораба

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2013

XVI Национална олимпиада по астрономия 2013, областен кръг, възрастова група XI-XII клас · 23 февруари 2013 г. · 14 т.

Условие

Два космически кораба се изстрелват едновременно от едно и също място на земния екватор и тръгват по кръгови екваториални орбити с височина 500 км в две противоположни посоки.

Приемаме, че орбитите на корабите се различават съвсем незначително, колкото двата кораба, движещи се в противоположни посоки, да не се сблъскват при срещите си.

Справочни данни:

Синодичен период на Луната – 29.5 денонощия
Радиус на геостационарната орбита – 42 164 км
Радиус на Земята – 6378 км
Маса на Земята – $6 \times 10^{24}$ кг
Гравитационна константа – $6.67 \times 10^{-11}$ м $^3$ /кг.сек $^2$
Радиус на орбитата на Европа – 671 000 км
Диаметър на Юпитер – 143 000 км

а Пресметнете орбиталния период на спътниците.

б Първият кораб каца на Земята, след като е направил 26 обиколки около нея, а вторият – след като е направил 27 обиколки. Определете на какво разстояние от мястото на изстрелване каца първият кораб.

в Определете разстоянието между местата на кацане на двата кораба.

Отговори

Решение

Първо определяме орбиталния период $T$ , който е еднакъв за двата кораба. Използваме III закон на Кеплер:

\frac{(R+h)^3}{T^2} = \frac{\gamma M}{4\pi^2}

където $R$ е радиусът на Земята, $M$ е нейната маса, $h$ е височината на орбитите на корабите, $\gamma$ е гравитационната константа. Оттук получаваме:

T = 2\pi\sqrt{\frac{(R+h)^3}{\gamma M}} \approx 5663\,\mathrm{sec} \approx 94.38\,\mathrm{min}

Да пресметнем интервала от време, през който първият кораб лети около Земята:

t_1 = 26 \times 94.38^{\mathrm{min}} = 2454^{\mathrm{min}} = 40.9^{h}

Орбиталното движение на кораба е независимо от околоосното въртене на Земята, което става с период $T = 23^{h}56^{\mathrm{min}} = 1436^{\mathrm{min}}$ . Следователно за определяне на мястото на кацане на кораба посоката на неговото движение по екваториалната му орбита няма значение. Единствено значение има продължителността на полета му.. Можем да определим ъгъла, на който се е завъртяла Земята за времето на полета на кораба:

\alpha = 360° \times \frac{t_1}{T}

\alpha \approx 615.21° = 360° + 255.21°

За времето на полета на кораба Земята е направила едно пълно завъртане около оста си плюс още завъртане на ъгъл 255.21°. Земята се върти от запад на изток, което значи, че корабът е кацнал в точка, отстояща на 255.21° западно от точката на излитане. Всъщност по-удобно е да считаме, че точката на кацане е на $360° - 255.21° = 104.79°$ източно от точката на излитане. Това съответства на разстояние:

x = 2\pi R \times \frac{104.79°}{360°} \approx 11665 \text{ км}

където R е земният радиус.

Вторият кораб е направил една обиколка повече и значи е летял с 94.38 минути по-дълго от първия. За това време Земята се е завъртяла още на ъгъл:

\Delta\alpha = 360° \times \frac{94.38^{\mathrm{min}}}{T} \approx 23.66°

Това отговаря на разстояние:

\Delta x = 2\pi R \times \frac{23.66°}{360°} \approx 2634 \text{ км}

Вторият кораб е кацнал на разстояние 2634 км западно от точката на кацане на първия кораб.

Критерии за оценяване (общо 14 т.):

За определяне на орбиталния период на корабите – 2 т.

За разбиране на факта, че орбиталното движение на корабите не зависи от въртенето на Земята и разстоянията между стартовата точка и точката на приземяване зависи само от времето на полета - 2 т.

За правилна математическа постановка на решението за точката на кацане на първия кораб – 5 т.

За верен числен отговор – 1 т.

За правилен начин за определяне на разстоянието между точките на кацане на двата кораба – 3 т.

За верен числен отговор – 1 т.

Оригинал в Архива: NOA2_2013_11-12problems.pdf · официални решения: NOA2_2013_11-12solutions.pdf