Съдържание

НОА 2013, II кръг (областен), 9–10 клас — Задача 4. Проблем с енергията

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2013

XVI Национална олимпиада по астрономия 2013, областен кръг, възрастова група IX-X клас · 23 февруари 2013 г. · 12 т.

Условие

Геостационарните спътници се движат по екваториални орбити с период, равен на периода на въртене на Земята. Така всеки от тях „виси” над една и съща точка от земния екватор. Радиусът на орбитата на геостационарен спътник е приблизително 6.5 пъти по-голям от радиуса на Земята.

За да работи електрониката на геостационарен спътник, използван за телекомуникации, е необходим източник на електроенергия с мощност 10 киловата. Електроенергията се произвежда от слънчеви елементи. Част от нея се използва за зареждане на акумулаторна батерия, осигуряваща работата на спътника в интервалите от време, когато Земята закрива Слънцето.

а Кога през годината слънчевите затъмнения за спътника, причинени от Земята, ще са най-продължителни? [2 т.]

б Начертайте в подходящ мащаб земното кълбо и орбитата на спътника около него. Направете необходимите построения и измервания и определете продължителността на слънчево затъмнение, случващо се в такъв най-неблагоприятен период. [4 т.]

в В същия неблагоприятен период, през интервалите без затъмнение с каква мощност трябва да работят слънчевите елементи, за да обезпечават както работата на спътника, така и зареждането на батерията? Пресметнете приблизително, без да отчитате факта, че ще има и частични фази на затъмнението, т.е. считайте Слънцето за точков източник на светлина. [4 т.]

г Кога през годината затъмненията няма да са проблем за спътника? Отговорете само качествено. [2 т.]

Отговори

Решение

Геостационарният спътник се движи в екваториалната равнина на Земята. Поради наклона на земната ос, в различни периоди от годината затъмненията на спътника от Земята ще продължават различно.

Слънцето в центъра и четири положения на Земята по орбитата – зимно слънцестоене, пролетно равноденствие, лятно слънцестоене и есенно равноденствие; при всяко положение са показани земната ос N–S и екваториалната орбита на спътника.

Както се вижда от схемата, максимална продължителност ще имат затъмненията в периодите около пролетното и есенното равноденствие. Орбитата на спътника има голям радиус в сравнение с радиуса на Земята. Ето защо, ще има периоди от годината, когато през целия си орбитален период спътникът няма да попада в земната сянка и затъмнения няма да има. Тогава няма да има и проблем с електроснабдяването пряко от слънчевите елементи. Това са периодите около лятното и зимно слънцестоене.

Пренебрегваме факта, че земната сянка има форма на конус и се стеснява с отдалечаване от Земята. Считаме сянката за цилиндрична. За да има максимална продължителност на затъмнението от Земята спътникът трябва да мине не по хорда, а по диаметъра на земната сянка. Начертаваме в съответния мащаб Земята и орбитата на спътника. Измерваме с транспортир ъгъла $\delta$ , съответстващ на затъмнения сектор от орбитата на спътника, и получаваме приблизително $17.5^\circ$ . По принцип орбиталният период на геостационарен спътник е равен на периода на околоосно въртене на Земята, т.е. на звездното денонощие – 23 ч. 56 м. Приемаме, че попадането на спътника в сянката на Земята става през период от 24 часа.

Земята в центъра на кръгова геостационарна орбита, слънчеви лъчи отгоре и цилиндрична сянка зад Земята, изрязваща от орбитата дъга с централен ъгъл δ.

Продължителността на затъмнението ще бъде:

\Delta t = 24^h \times \frac{17.5^\circ}{360^\circ} \approx 1.17^h = 1^h 10^{\min}

Слънчевите елементи ще могат да произвеждат електроенергия през останалата част от периода, която е $\Delta T = 24^h - 1.17^h = 22.83^h$ . Електрониката на спътника се нуждае от източник на енергия с мощност $P = 10$ kW. За цялото време на затъмнението необходимата енергия ще бъде:

\Delta E = P.\Delta t

Слънчевите елементи трябва да произведат тази енерги в интервала без затъмнение, за да се зареди батерията. Следователно през този период елементите ще трябва да работят с мощност:

P' = P + \frac{\Delta E}{\Delta T} = P\left(1 + \frac{\Delta t}{\Delta T}\right)

P' \approx 10.5\ \text{kW}

Критерии за оценяване (общо 12 т.)

За посочване на периодите с най-продължителни затъмнения и обяснение – 2 т.

За построяване на схема и правилен начин за определяне на продължителността на затъмнеието – 3 т..

За верен числен отговор – 1 т.

За правилен математически метод за определяне на мощността в интервалите без затъмнение – 3 т.

За вярно числено пресмятане на мощността – 1 т.

За правилно обяснение дали и кога ще има периоди без затъмнения – 2 т.

Оригинал в Архива: NOA2_2013_9-10problems.pdf · официални решения: NOA2_2013_9-10solutions.pdf