Съдържание

НОА 2014, II кръг (областен), 7–8 клас — Задача 3. Бързоходци

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2014

XVII Национална олимпиада по астрономия 2014, областен кръг, тема за възрастова група VII-VIII клас · 3 февруари 2014 г. · 12 т.

Условие

Двама бързоходци с крилати сандали, подобни на тези, които имат някои герои от гръцката митология, могат да обиколят земното кълбо за 24 часа. Единият от тях се намира в София ( $\varphi = 42°42′$ с.ш., $\lambda = 23°20′$ и.д.), а другият – във Варна ( $\varphi = 43°13′$ с.ш., $\lambda = 27°55′$ и.д.). В слънчевия ден на 3-ти февруари всеки от бързоходците наблюдава своята сянка. В момента, когато сянката му стане най-къса, всеки от тях начертава на земята стрелка в посоката, в която е насочена сянката. Веднага след това всеки от бързоходците тръгва натам, накъдето е насочена стрелката и обикаля цялото земно кълбо, докато се върне в точката, от която е тръгнал.

• Къде по Земята пътищата на двамата бързоходци се пресичат?

• Ще се срещнат ли бързоходците в първата пресечна точка от пътищата си? Ако не, пресметнете интервала от време между преминаването на единия и на другия бързоходец през тази точка.

• Какво ще бъде при преминаването на бързоходците през всяка една от пресечните точки на пътищата им – ден или нощ?

• Къде по Земята разстоянието между пътищата на двамата бързоходци ще е най-голямо?

Отговори

Решение

Сянката на всеки бързоходец става най-къса, когато Слънцето е най-високо над хоризонта. Това се случва по пладне, когато Слънцето се намира на юг. Тогава сянката е насочена на север. Следователно всеки от бързоходците тръгва на север. Техните пътища се пресичат в две точки – северния и южния полюси на Земята.

Тъй като бързоходците са на много близки географски ширини, но на леко различни дължини, моментът пладне ще настъпи малко по-късно за този, който е в София, в сравнение с онзи, който е във Варна. Разликата в географските дължини на двамата е:

\Delta\lambda = 27°55′ - 23°20′ = 4°33′ = 4.55°

Това съответства на закъснение в момента на изгрева за бързоходеца в София:

\Delta t_1 = (24^h \times 4.55° / 360°) \times 60^{min} = 18.2^{min}

Бързоходецът, който е в София, ще тръгне с 18.2 минути по-късно от бързоходеца във Варна. Освен това, бързоходецът от Варна има да измине до първата пресечна точка на пътищата – северния полюс – малко по-малко път, понеже се намира на по-висока географска ширина. Разликата между географските ширини на двамата е:

\Delta\varphi = 43°13′ - 42°42′ = 31′ \approx 0.517°

Тъй като бързоходците могат да обиколят цялото земно кълбо за 24 часа, то това дава допълнителна преднина на бързоходеца от Варна:

\Delta t_2 = (24^h \times 0.517° / 360°) \times 60^{min} \approx 2.07^{min}

В заключение можем да кажем, че бързоходците няма да пристигнат едновременно в първата пресечна точка от пътищата си – те нма са срещнат там. В сравнение с бързоходеца от Варна, бързоходецът от София ще премине през тази точка със закъснение:

\Delta t = \Delta t_1 + \Delta t_2 \approx 20.3^{min}

Тъй като бързоходците започват своето пътешествие на 3 февруари и могат да обиколят цялото земно кълбо само за 24 часа, то когато минават през първата пресечна точка от пътищата си – северния полюс – там ще бъде полярна нощ. Във втората пресечна точка – южния полюс – ще бъде полярен ден.

Понеже двамата бързоходци се движат по земни меридиани, разстоянието между пътищата им ще бъде най-голямо там, където те пресичат екватора.

Критерии за оценяване (общо 12 т.):

За определяне на посоките, в които тръгват бързоходците – 2 т.

За определяне на пресечните точки на пътищата им – 2 т.

За отговор дали ще се срещнат на северния полюс и обяснение – 1 т.

За правилен начин на пресмятане с колко ще закъснее бързоходецът от София спрямо този от Варна – 2 т.

За верен числен отговор – 1 т.

За определяне дали ще бъде ден или нощ в пресечните точки – 2 т.

За отговор къде разстоянието между пътищата им ще е най-голямо – 2 т.

Оригинал в Архива: NOA2_2014_7-8problems.pdf · официални решения: NOA2_2014_7-8solutions.pdf