НОА 2014, III кръг (национален), 9–10 клас — Задача 3. Слънчево петно

• • 7920 пъти

  Блясъкът на петното е около 8000 пъти по-слаб от блясъка на цялото Слънце.

• • Телескопът увеличава светлината $D^2/d^2 = 22500$ пъти; блясъкът само на петното в телескопа ще бъде $22500/7920 \approx 3$ пъти по-силен от този на цялото Слънце без телескоп – наблюдението не е безопасно.

  22500 пъти спрямо наблюдение с невъоръжено око; около 3 пъти спрямо цялото Слънце.

• • -17 звездна величина ($^m$)

  $m_1 = m_0 + 2.5\lg\frac{E_0}{E_1} \approx -17^{m}$

• • Такова парченце, пренесено на разстоянието до Луната, ще е около 320 пъти по-ярко от цялото петно на Слънцето.

  Авторското решение спира до отношението на блясъците (около 320 пъти) и не изписва числена стойност на звездната величина.

Ще си послужим с приближение, като ще приемем Слънцето за светещ диск. Осветеността $E_0$, която то създава на Земята, ще е пропорционална на излъчващата площ на целия слънчев диск, а осветеността от петното $E_1$ ще е пропорционална на площта на петното. Освен това, съгласно закона на Стефан-Болцман осветеността ще е пропорционална и на потока светлина от единица повърхност, който зависи от температурата. В сила е съотношението:

Където $R_0$ и $T_0$ са радиусът и температурата на Слънцето, а $R_1$ и $T_1$ – тези на петното, $\sigma$ е константата на Стефан-Болцман.

Блясъкът на петното около 8000 пъти по-слаб от блясъка на цялото Слънце.

Да приемем, че цялата светлина от обектива на телескопа попада в зеницата на окото. Обективът събира толкова пъти повече светлина от зеницата на окото, колкото пъти площта на обектива е по-голяма от тази на окото. Да означим с $D$ диаметъра на обектива, а с $d$ диаметъра на зеницата.

Следоветлно при наблюдение с телескоп отделното слънчево петно ще бъде 22500 пъти по-ярко, отколкото при наблюдение с невъоръжено око. В сравнение със Слънцето, гледано без телескоп, блясъкът само на петното в телескопа ще бъде $22500/7920 \approx 3$ пъти по-силен! Наистина, не е за препоръчване дори само едно слънчево петно да се наблюдава в телескоп по този начин.

Да означим видимата звездна величина на Слънцето с $m_0$, а на петното с $m_1$. От формулата на Погсън получаваме:

$m_1 \approx -17^{m}$

Както виждаме, дори и само едно такова слънчево петно да грее на небето, то ще е много по-ярко от Луната (Грубата оценка показва, че петното ще е десетки пъти по-ярко от Луната в пълнолуние).

Ако „изрежем” от слънчевото петно парченце, голямо колкото Луната, то неговата площ ще бъде $(30000 \text{ км} / 1378 \text{ км})^{2} \approx 474$ пъти по-малка от цялата площ на голямото петно. Да отбележим с $r_L$ разстоянието от нас до Луната, а с $r_S$ разстоянието до Слънцето. Осветеността, която един светлинен източник създава, е обратно пропорционална на квадрата на разстоянието до него. Можем да пресметнем колко пъти ще се увеличи осветеността от парченцето от слънчевото петно, когато го приближим до разстоянието, на което се намира Луната:

Като разделим това на 474, ще получим колко пъти парченцето от петното, пренесено на разстоянието до Луната, ще е по-ярко от цялото петно на Слънцето. Получаваме около 320 пъти.

Критерии за оценяване (общо 15 т.):

За правилно определяне колко пъти блясъкът на петното е по-слаб от този на Слънцето – 3 т.

За правилен математически подход при определяне на блясъка на петното, гледано с телескопа – 3 т.

За верен числен отговор и сравнение с блясъка на Слънцето – 2 т.

За правилен начин на определяне на звездната величина на петното – 2 т.

За верен числен резултат – 1 т.

За правилен начин на определяне на яркостта на парчето от петното на разстоянието до Луната – 3 т.

За верен числен резултат – 1 т.