НОА 2014, III кръг (национален), 9–10 клас — Практическа задача. Орбитата на Марс

• • Построяване по метода на Кеплер: за всяка двойка данни се построяват направленията Земя–Марс при противостоянието и един марсиански период по-късно; пресечната им точка дава положение на Марс. Получената орбита не е кръгова, а елиптична.

• • Голяма полуос около 1.58 астрономически единици (в действителност приблизително 1.52); за разстоянието в афелий се получава около 0.88 астрономически единици, а в перихелий 0.70 астрономически единици.

  Стойностите за афелий и перихелий са дадени така, както са отпечатани в авторското решение; те не са съвместими с обявената голяма полуос 1.58 а.е.

• • 2003 година

  От противостоянията в таблицата най-близо до перихелия на Марс се е случило това през 2003 г.

Начертаваме кръговата земна орбита и отбелязваме направлението, което приемаме, че е към пролетната равноденствена точка. При противостоянието в 1982 г. еклиптичната ширина на Марс е била $190.38^\circ$. Тъй като става дума за противостояние, Земята тогава се е намирала на линията Марс-Слънце, т.е. нейният радиус-вектор е бил завъртян също на $190.38^\circ$ спрямо направлението към пролетната равноденствена точка. Отмерваме с транспортир този ъгъл от направлението към пролетната равноденствена точка и построяваме правата $Sa$. Земята се е намирала тогава в пресечната точка $T$ на тази права със земната орбита. На същата права се е намирал и Марс.

Забелязваме, че датата на противостоянието е 31 март, а след точно един марсиански орбитален период през 1984 г. датата е била 16 февруари. Това е така, защото орбиталният период на Марс е малко по-малък от две земни години. Датата 16 февруари е с 43 дни по-ранна от 31 март. При това моментите в универсално време не се различават много. Можем да пресметнем, че на 16 февруари 1984 г. Земята се е намирала приблизително на ъгъл $360^\circ \times (43^{d} / 365.25^{d}) \approx 42.38^\circ$ по-назад по своята орбита в сравнение с 31 март 1982 г. От правата $Sa$ отмерваме в посока обратна на движението на Земята ъгъл $42.38^\circ$ и построяваме правата $Sb$. Тя пресича земната орбита в точка $T_1$, където се е намирала Земята на 16 февруари 1984 г. От таблицата виждаме, че тогава еклиптичната дължина на Марс е била $226.53^\circ$. Пренасяме успоредно направлението към пролетната равноденствена точка в точка $T_1$ и получаваме правата $xx$. Отмерваме от нея ъгъл $226.53^\circ$ и посторяваме правата $T_1c$, която ни дава направлението към Марс на 16 февруари 1984 г. Но това е точно един марсиански период след противостоянието на 31 март 1982 г.. Следователно на двете дати Марс се е намирал в една и съща точка от своята орбита. Това е точката, в която се пресичат правите $Sa$ и $T_1c$, сочещи направленията от Земята към Марс на тези дати. Така получаваме точката $M$, където е бил Марс тогава. Това е била идеята на Кеплер.

По същия начин процедираме и с другите данни от таблицата и получаваме още точки от орбтата на Марс. Накрая прекарваме и самата орбита през получените точки. Виждаме, че тя наистина не е кръгова, а елиптична.

Определяме приблизително направлението на голямата ос на марсианската орбита. Измерваме я и като я сравняваме с размера на земната орбита, виждаме, че са в съотношение 1.58 : 1. Това означава, че голямата полуос на марсианската орбита е около 1.58 астрономически единици. Полученият резултат е с много добра точност. В действителност голямата полуос на марсианската орбита е приблизително 1.52 астрономически единици.

За разстоянието между Марс и Слънцето, когато Марс е в афелий, получаваме около 0.88 астрономически единици, а за разстоянието в перихелий 0.70 астрономически единици. Разликата е значителна и това съществено влияе върху климата на Марс. Не случайно често когато Марс е в перихелий, се наблюдават глобални прашни бури, обхващащи цялата планета.

От противостоянията, дадени в таблицата, най-близо до перихелия на Марс се е случило това през 2003 г. То е било велико противостояние на Марс.

Критерии за оценяване (общо 20 т.):

За правилна идея и теоретическа обосновка на метода – 5 т.

За пресмятания и правилно графично изпълнение – 6 т.

За окончателно пначертаване на орбитата на Марс – 2 т.

За определяне на голямата полуос – 3 т.

За определяне на афелийното е перихелийното разстояние – 2 т.

За определяне кога е имало велико противостояние – 2 т.