НОА 2014, III кръг (национален), 9–10 клас — Задача 1. Лунен изгрев и залез

• • Изгревът на Луната за сънливия астроном ще е в $2^{h}03^{m}3^{s}$ по Универсално време, или $14^{h}03^{m}3^{s}$ по неговото поясно време.

  Интервалът между залеза за първия и изгрева за втория астроном е 7 минути 53 секунди без рефракция и 3 минути 03 секунди след отчитане на рефракцията.

• • Да. По поясното време на сънливия астроном Луната ще залезе в $2^{h}25^{m}$ и той ще може да си почива цели 25 минути в повече от своя колега.

  Интервалът между залеза на Луната за наблюдателя в точка А и залеза ѝ за наблюдателя в точка В е половината от периода $T$, или 12 часа 25 минути; поправка за рефракцията тук не се налага.

На чертежа Земята е изобразена така, че северният й полюс е обърнат към нас, астрономът на Гринуичкия меридиан се намира в точка А, а неговият колега на 180-градусовия меридиан – в точка В.

Ще разглеждаме ситуацията в координатна система, въртяща се заедно с денонощното въртене на Земята. В такава координатна система Луната се движи около Земята от изток на запад с ъглова скорост:

където $\omega_T$ е ъгловата скорост на оклоосното въртене на Земята, а $\omega_L$ е ъгловата скорост на орбиталното движение на Луната. Да означим с $T_T$ периодът на околоосно въртене на Земята (звездно денонощие) и с $T_L$ периодът на орбитално движение на Луната (сидеричен лунен месец). Тогава:

С тази ъглова скорост Луната ще прави едно видимо завъртане около Земята с период:

$T \approx 1.035$ денонощия $\approx$ 1 денонощие и 50 минути

От момента на залеза за астронома в точка А до изгрева за астронома в точка В, Луната трябва да измине път $s$ по своята орбита, или да опише ъгъл $\alpha$. Разстоянието от Земята до Луната е голямо в сравнение със земния радиус. Можем да считаме, че $s \approx 2R_T$, където $R_T$ е радиусът на Земята. Тогава за ъгъла $\alpha$ получаваме:

където $r$ е радиусът на лунната орбита. Този път Луната ще измине за време:

$t \approx 7.88$ минути $\approx$ 7 минути 53 секунди

Би трябвало да отчетем и рефракцията. Ъгълът на рефракция на хоризонта е около $35'$. Луната при видимото си движение изминава такъв ъгъл за време:

$t_1 \approx$ 2 минути 25 секунди

За наблюдателя А залезът на Луната ще закъснее с толкова време, а за наблюдателя В изгревът й ще подрани със същото време. Следователно интервалът между залеза на Луната в единия пункт и изгрева в другия пункт ще се съкрати с величината:

$2 \times$ 2 минути 25 секунди = 4 минути 50 секунди

Така търсуеният интервал ще стане:

7 минути 53 секунди – 4 минути 50 секунди = 3 минути 03 секунди

В крайна сметка изгревът на Луната за сънливия астроном ще е в $2^{h}03^{m}3^{s}$ по Универсално време, или $14^{h}03^{m}3^{s}$ по неговото поясно време.

До следващия залез на Луната за втория астроном тя има да измине още ъгъла до положение 3, който е допълнителен на $\alpha$ до $180^\circ$. По-лесно е да сметнем интервала от залеза на Луната за астронома в точка А до залеза й за наблюдателя в точка В. Този интервал ще е половината от периода $T$, или 12 часа 25 минути. Тук поправка за рефракцията не се налага, защото и на двете места залезът ще закъснее с еднакво време. По поясното време на сънливия астроном Луната ще залезе в $2^{h}25^{m}$ и той ще може да си почива цели 25 минути в повече от своя колега.

Критерии за оценяване (общо 15 т.):

За правилен теоретичен начин за пресмятане на момента на изгрева на Луната за астронома в точка В – 5 т.

За отчитане на рефракцията – 2 т.

За пресмятане в колко часа по Универсално и поясно време ще настъпи изгревът за втория астроном – 2 т.

За правилен начин за пресмятане на часа на залеза на Луната за втория астроном в точка В – 4 т.

За отчитане на факта, че рефракцията не влияе на отговора – 1 т.

За верен числен резултат – 1 т.