НОА 2015, IV кръг, Младша възраст — Задача 4. Пулсари

• • $P_{min} = \frac{P_0}{1+\frac{V_3}{c}} \approx 0.033397\ \mathrm{s},\qquad P_{max} = \frac{P_0}{1-\frac{V_3}{c}} \approx 0.033403\ \mathrm{s}$

  P₀ = 0,0334 s, V_З = 30 km/s, c = 300 000 km/s. Числените стойности са тези, отпечатани в оригинала.

• • $P_{max} \approx 0.077705\ \mathrm{s},\qquad P_{min} \approx 0.077695\ \mathrm{s}$

  В оригинала знаците в знаменателите на двете формули са разменени спрямо числените стойности — вж. transcription.notes.

Решение:

А) Промяната на наблюдавания период на пулсара с течение на годината се дължи на различната лъчева скорост на Земята, относно пулсара. Тази скорост се променя поради орбиталното движение на планетата ни около Слънцето.

Ракообазната мъглявина се намира в съзвездието Бик, което е едно от зодиакалните съзвездия. Поради това можем да считаме, че тя се намира много близо до равнината на еклиптиката, която всъщност е равнината на земната орбита. Това означава, че има периоди от време в които Земята се движи директно към Ракообразната мъглявина (в които се наблюдават най-късият период на пулсация) и в които планетата ни се отдалечава директно нея (тогава ние наблюдаваме най-дългия период на пулсация).

Нека да намерим връзката между лъчевата скорост на Земята, относно пулсара V и наблюдавания период Р. Означаваме с $Р_0$ периода, който бихме наблюдавали, ако сме неподвижни, относно пулсара. Разглеждаме наблюдател, който се приближава към този пулсар със скорост V. Нека в в момента $t_0$ лъчът на пулсарът да е насочен към наблюдателя, като нека в момента в който сигналът се приема разстоянието между пулсара и наблюдателя да е $r_0$. Това означава, че моментът в който наблюдателят приел сигнала е

Тук с = 300 000 km/s e скоростта на светлината.

За да намерим възприемания от наблюдателя период на пулсара, трябва да изразим момента в който той приема следващия сигнал $\mathbf{t_2}$.

Тъй като периодът на пулсара е $\mathbf{P_0}$, то следващият момент в който лъчът е бил насочен към наблюдателят е бил $\boldsymbol{t_0 + P_0}$.

За времето между моментите в които наблюдателят приема двата сигнала, той е изминал разстояние $\boldsymbol{\Delta r = P.V}$.

Това означава, че в момента в който той приема втория сигнал, разстоянието между него и пулсара е $\boldsymbol{r_0 - \Delta r}$.

От тук можем да заключим, че този момент е:

Следователно, наблюдаваният период е

Откъдето намираме:

Както казахме, Ракообразната мъглявина се намира в съзвездието Бик, много близо до еклиптиката. Също така тя се намира много близо до точката на лятното слънцестоене, през която Слънцето преминава през месец юни. Следователно, моментът в който планетата ни се приближава към М1 с цялата си орбитална скорост ($V_З$ = 30km/s) е четвърт година преди мъглявината да бъде в „опозиция“, т.е. три месеца след лятното слънцестоене през месец септември. Тогава ние наблюдаваме възможно най-късия период на пулсация, чиято стойност е:

Аналогично, Земята се отдалечава най-бързо от М1 четвърт година след като „опозоцията“ е преминала или приблизително по време на пролетното равноденствие. Тогава периодът на пулсация, който ние наблюдаваме е:

Б) Забелязваме, че ректасцензията на втория пулсар е приблизително 18h. На такава ректасцензия се намира точката на зимното слънцестоене, като нейната деклинация е -23.5°. От тук можем да заключим, че ъгловото отстояние на този пулсар от еклпиптиката е около 50°. Това е значимо отстояние и по тази причина към пулсара винаги ще бъде насочена само някаква част от земната скорост. Най-голямата скорост с който планетата ни се приближава или отдалечава към него е $V_3.\cos(50°) \approx 19.3$ km/s. Атанас прави своите наблюдения през юни, три месеца след пролетното равноденствие и Слънцето има ректасценция около 6h. Следователно, в момента на наблюденията, пулсарът се намира в „противостоене“, относно Земята и лъчевата скорост на планетата ни, спрямо него е 0. От тук следва, че периодът, който Атанас измерва е всъщност истинският период на пулсара $P_0$.

През следващите месеци Земята ще се започне да се отдалечава от пулсара, поради, което наблюдаваният период ще започне да расте. След около 3 месеца, през септември месец, този период ще достигне своята максимална стойност, като тя ще бъде:

През декември месец Земята ще бъде максимално далеч от този пулсар, защото ще бъде от „противоположната“ страна на Слънцето, относно него. Тогава отново лъчевата й скорост ще бъде 0 и Атанас ще измерва истинския период на пулсация.

През март Земята ще се приближава максимално бързо към пулсара, с изчислената от нас скорост от 19.3 km/s. По това време наблюдаваният период от Атанас ще достигне своята минимална стойност, която ще е:

Критерии за оценка (17т.):

А) – За разбиране на причината поради, която се очаква пулсарът да си променя наблюдавания период – 3т.

• За извеждане на връзката между лъчева скорост и наблюдавана стойност на периода – 1т.
• За съобразяване на положението на пулсара в М1, спрямо еклиптиката – 1т.
• За намираме на минималния и максималния наблюдаван период на пулсация – 3т.
• За правилно посочване на сезоните през които периодът на пулсация ще е минимален или екстремален – 2т.

Б) – За съобразяване на факта, че пулсарът се намира „над“ точката на зимно слънцестоене – 1т.

• За намиране на еклиптичната ширина на пулсара – 1т.
• За намиране на амплитудата на лъчевата скорост на Земята, относно пулсара – 1т.
• За пресмятане на минималната и максималната стойност на наблюдавания период – 2т.
• За правилен коментар как ще се изменя този период в следващите месеци – 2т.