НОА 2015, IV кръг, Старша възраст — Задача 2. Венера в елонгация

• • $V_r = V_V - \frac{r_V}{r_E}V_E = 13{,}4\ \mathrm{km/s}$

  При максимална източна елонгация Венера се приближава към Земята, т.е. лъчевата скорост е −13,4 km/s; при максимална западна елонгация тя е +13,4 km/s.

• • $e^3 + 3e^2 + 5{,}92e - 1{,}92 = 0 \;\Rightarrow\; e \approx 0{,}28$

  Графично e ≈ 0,28; при пренебрегване на кубичния член квадратното уравнение 3e² + 5,92e − 1,92 = 0 дава e = 0,283.

Бележка: в PDF-а с решенията второто подусловие е отпечатано в друга редакция: „Какъв трябва да бъде ексцентрицитетът на венерианската орбита, така че около момента на максимална източна елонгация Венера да се отдалечава от Земята?“

Решение:

А) Нека да означим с $r_E$ и $r_V$ радиусите на Земята и Венера, а с $V_E$ и $V_V$ съответните им скорости. На чертежа е представена подредбата на двете планети и Слънцето в момента в който Венера се намира в максмална източна елонгация, отнсно Земята.

Ако с $V_E'$ означим компонентата на земната скорост по правата, която свързва двете планети, то от подобието на двата защриховани триъгълника следва следното равенство:

Това е скоростта с която Земята „бяга“ от Венера. Следователно, можем да заключим, че големината на търсената лъчева скорост на Венера в този момент от време е:

При максимална източна елонгация Венера се приближава към Земята, поради което нейната лъчева скорост е отрицателна, т.е. е равна на -13,4 km/s. При максимална западна елонгация, геометричното разположение на планетите е същото, но Венера се отдалечава от нашата планета. Лъчевата й скорост относно нас е същата по големина, но с обратен знак или +13,4 km/s.

Б) Нека да означим с e търсения ексцентрицитет на венерианската орбита.

Скоростта на Венера в момента на максималната елонгация е нейната афелийна скорост, която можем да изразим по следия начин:

В този случай можем да забележим, че са налице аналогично подобни триъгълници, както в предното подусловие, когато разглеждахме кръгови орбити. Тук, компонентата на земната скорост по лъча на зрение към Венера може да се изрази по следния начин:

Следователно, лъчевата скорост на Венера, относно Земята е:

За да е изпълнено условието на задачата трябва:

или

Понеже:

то полученото уравнение може да се преобразува до:

Тук е разумно да заместим отношението на големите полуоси на двете орбити с неговата числена стойност, при което уравнението придобива вида:

След разкриване на скобите:

Полученото уравнение от трета степен може да се реши аналитично, ако използваме формулата на Кардано. Този метод е точен, но е твърде вероятно да има някакъв приближен начин по който крайният резултат се получава с разумна точност.

Първият метод по който можем да подходим е да пресметнем полинома, който е в дясната страна на равенството за някакви стойности на e. Този полином, представен графично, за e в интервала от 0 до 0,4 изглежда така:

От получената графика виждаме, че той пресича ординатната ос приблизително в e=0,28. Това е нашият резултат за търсения ексцентрицитет.

Разбира се, по подобен начин можем да намерим търсения резултат, използвайки метода на разполовяването (известен от съвременните часове по информатика като двоично търсене). Участникът може да пресметне последователно стойностите на полинома за e=0,1;0,2;0,3 и т.н. като при това забележи, че между 0,2 и 0,3 той се сменя знака. Това означава, че явно между тези две стойности е търсеното решение. След което се пресмята стойността на полинома за 0,25 и се вижда, че тя отново е отрицателна и това показва, че решението е между 0,25 и 0,30. На следващата стъпка се пресмята изразът за 0,275, което е много близко до истинското решение. Този процес може да продължи неограничено дълго като колкото повече стъпки правим толкова по-точно намираме решението. В нашия случай с 4 стъпки се доближаваме на по-малко от 0,01 от това, което се получава графично.

Друг начин по който можем да подходим е да пренебрегнем кубичния член в уравнението. Причината за това е, фактът, че афелийното разстояние на Венера не може да бъде по-голямо от радиуса на земната орбита. Така се получава, че максималната възможна стойност на търсения ексцентрицитет е 0,43. Ако пресметнем всички събираеми за тази най-голяма възможна стойност на e, то виждаме, че всички те са десетки пъти по-големи от кубичния член. Следователно, можем да го пренебрегнем и да решаваме най-обикновено квдратно уравнение с коефициенти: a=3; b=5,92 и c=-1,92. Неговото решение е 0,283, което е много близко до получения с прдходните методи резултат.

Критерии за оценка (20т.):

А) – За правилна геометрична постановка на задачата (подходяща схема или нещо друго показващо разбиране на взаимното положение на двете планети) – 2т.

• За правилен математически метод за намиране на лъчевата скорост в максимална елонгация и краен израз – 4т.

• За правилен числен резултат на абсолютната стойност на лъчевата скорост – 1т.

• За правилни съображения относно знака на тази лъчева скорост в различните максимални елонгации – 2т.

Б) – За изразяване на афелийната скорост на Венера – 2т.

• За правилно геометрично изразяване на лъчевата скорост на Венера в този случай – 4т.

• За получаване на уравнението, от което се определя ексценрицитетът – 2т.

• За правдоподобен и добре обоснован метод за решаването му – 2т.

• За правилен числен резултат – 1т.