НОА 2016, II кръг (областен), 11–12 клас — Задача 3. Височина над хоризонта

• А Прави се разрез на небесната сфера през меридиана на мястото с хоризонт H–H′, зенит Z, надир Z′, полюси P и P′, небесен екватор E–E′; нанасят се пет звезди – незалязваща ($\delta_4$), неизгряваща ($\delta_5$) и три изгряващи и залязващи, една от които с отрицателна деклинация ($\delta_2$). Вж. Фиг. 1 и Фиг. 2 в решението.

• Б $h = (90^\circ - \varphi) + \delta;\quad h = (90^\circ + \varphi) - \delta;\quad h = -(90^\circ - \varphi) + \delta;\quad h = -(90^\circ + \varphi) - \delta$

  Първата формула е за горна кулминация на юг от зенита, втората – за горна кулминация на север от зенита, третата – за долна кулминация на север от надира, четвъртата – за долна кулминация на юг от надира.

• В Няма една обща формула – за наблюдател в северното полукълбо има по две формули за горна и за долна кулминация. Кои от тях са „основни“ зависи от географската ширина: за наблюдатели далеч на север звездите, кулминиращи на север от зенита, заемат само малка околополярна шапка, докато близо до екватора вторите формули важат за почти всички звезди.

  Изключенията възникват, когато сумата от височината на небесния екватор и деклинацията надхвърли 90° по абсолютна стойност – тогава височината е допълнителният до 180° ъгъл.

Решение:

Понеже се иска да се определят кулминациите на звездите, а те се случват когато звездата пресича меридиана на мястото, независимо дали над или под хоризонта, то ние правим разрез на небесната сфера през меридиана на мястото. Нанасяме основните точки и линии и няколко звезди над и под хоризонта, над и под небесния екватор, на юг и на север от зенита. Нека поне една от тях е незалязваща и една неизгряваща.

Горната кулминация на звездите се случва в тази полуокръжност на меридиана на мястото, която е заключена между Северния небесен полюс P и Южния небесен полюс P′ и на която лежи зенитът Z на мястото. На Фиг. 1. са показани горните кулминации на пет звезди. Звездата с деклинация $\delta_5$ е неизгряваща, звездата с деклинация $\delta_4$ е незалязваща. Останалите звезди са изгряващи и залязващи, като една от тези звезди е с отрицателна деклинация – $\delta_2$, а друга звезда има горна кулминация на север от зенита. Това е звездата с деклинация $\delta_4.$

Нека първо определим височините в горните кулминации на звездите, които кулминират на юг от зенита. Звездата с положителна деклинация $\delta_1$ ще има височина на горната кулминация $h_1 = (90^\circ - \varphi) + \delta_1$. Ъгълът $(90^\circ - \varphi)$ е равен на височината, на която се издига небесният екватор EE′ в най-високата си точка, когато пресича меридиана на мястото. Към този ъгъл прибавяме деклинацията $\delta_1$ на звездата. Височините в горна кулминация, на звездите с отрицателни деклинации $\delta_2$ и $\delta_5$, се подчиняват на същата формула. При тях, обаче, деклинацията е отрицателно число и след прибавянето й към височината на небесния екватор получаваме ъгъл, който е по-малък или, както е в случая с петата звезда, дори отрицателен. Следователно за трите звезди, чиито горни кулминации са на юг от зенита е вярна формулата:

Ако използваме тази формула за звездите, които кулминират на север от зенита, ще получим ъгъл, който е по-голям от 90°. Височината над хоризонта, обаче, не може да бъде по-голяма от 90°. От фигурата ясно се вижда, че в случая с третата и четвъртата звезда височината над хоризонта е допълнителният до 180° ъгъл на ъгъла получен по горната формула. Следователно височината над хоризонта в горна кулминация на тези звезди получаваме по следния начин: $h = 180^\circ - ((90^\circ - \varphi) + \delta) = (90^\circ + \varphi) - \delta$. Окончателно, за височината над хоризонта на звезди, кулминиращи на север от зенита, може да запишем:

Причината за различията е, че деклинацията на звездите е по-голяма от географската ширина $\varphi$ на мястото, поради което сумата от двата ъгъла, височината на небесния екватор и деклинацията, е по-голяма от 90°.

Нека сега определим по какви формули се пресмята височината в долна кулминация на звездите. Това ще направим с помощта на Фиг. 2. Там са нанесени положенията на петте звезди в долна кулминация. Долната кулминация на звездите е заключена в полуокръжността между Северния и Южния небесен полюс, в която лежи надирът – Z′.

Започваме построенията от най-ниската точка на небесния екватор E′. Височината на звезда, лежаща на небесния екватор, в долна кулминация би била $h = -(90^\circ - \varphi)$. За да получим височините в долна кулминация на дадените звезди, към тази стойност добавяме деклинациите на звездите. Ако деклинацията е положителна, височината нараства. Когато деклинацията на звездата стане равна на $(90^\circ - \varphi)$, височината на долната кулминация нараства до 0° (нула). Звездата в долна кулминация е на хоризонта в точката север – N. Ако деклинацията на звездата е по-голяма от този ъгъл, висичина в горна кулминация става положителна. Тогава звездата е незалязваща. Такъв е случаят със звездата с деклинация $\delta_4$. Ако деклинацията на звездата е отрицателна, височината над хоризонта намалява (нараства по абсолютна стойност, понеже е отрицателно число). Това се демонстрира от звездата с деклинация $\delta_2$. Виждаме, че за всички звезди с положителна деклинация или с отрицателна деклинация, която по абсолютна стойност е по-малка от географската ширина, е вярна формулата:

Общото за тези звезди е, че тяхната долна кулминация се случва на север от надира.

Ако, обаче, използваме тази формула за звезди, които имат отрицателна деклинация, по абсолютна стойност по-голяма от географската ширина, сумата от двата ъгъла, по абсолютна стойност, ще бъде по-голяма от 90°. Тогава звездата в долна кулминация ще се окаже на юг от надира и нейната височина ще бъде допълнителният до 180° ъгъл. Такъв е случаят със звездата с деклинация $\delta_5$. Тогава, за да получим височината на звездата, от $-180^\circ$ изваждаме височината, определена по горната формула. Разбира се не бива забравяме, че ъгълът, който вадим, също е отрицателен:

Окончателно, за звезди в долна кулминация, които кулминират на юг от надира, получаваме:

Бихме могли да разглеждаме първите формули, които получихме за височините в горна и долна кулминация на звездите, като основни, а вторите като изключения. Това, обаче, е вярно за наблюдатели, намиращи се съществено на север. Тогава много повече звезди ще се подчиняват на първите формули, защото звездите, чиито горни кулминации са на север от зенита, заемат една малка част от звездното небе – малка шапка, отрязана от околополярните области на небесната сфера. Обаче за наблюдатели, които са близо до екватора, това не е вярно. За тях почти височините на всички звезди от северната небесна полусфера ще се подчиняват на втората формула, в случая на горна кулминация, а височините на звездите от южната небесна полусфера – на втората формула, в долна кулминация. Затова е правилно да се каже, че за наблюдател в северното полукълбо имаме по две формули за пресмятане на височината на звездите в горна и долна кулминация.

Критерии за оценяване (общо 15 т.):

За правилно построяване на чертежите, с необходимите линии, точки, означения и обяснения – 5 т.

За получаване на четирите формули и правилни разсъждения 4× 2 т. = 8 т.

За правилни разсъждения относно валидността на формулите за наблюдатели на различни географски ширини – 2 т.