Съдържание

НОА 2016, II кръг (областен), 11–12 клас — Задача 4. „Викинг-1”

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2016

XIX Национална олимпиада по астрономия 2016, областен кръг, възрастова група XI-XII клас · 26 февруари 2016 г. · 15 т.

Условие

Снимка на междупланетната станция „Викинг-1” – орбитален апарат със слънчеви панели и спускаем модул под аеродинамичен щит.

През лятото на 1976 г., преди 40 години, маждупланетната станция „Викинг-1” каца на Марс. След приближаването си до Червената планета, „Викинг-1” навлиза в орбита около нея. После станцията извършва още една маневра и тръгва по друга, по-ниска орбита около планетата, както е показано на схемата по-долу.

Определете орбиталните периоди на станцията „Викинг-1” по двете орбити около Марс. Според вас защо са избрани орбити с такива периоди?

Радиусът на Марс е 3390 км, а масата – $6.42\times10^{23}$ kg. Гравитационната константа е $\gamma = 6.67\times10^{-11}$ m $^{3}$ /kg.s $^{2}$ . На схемата под означенията “Apoapsis” и “Periapsis” са дадени разстоянията от повърхността на Марс (не от центъра на планетата) до апоцентъра и перицентъра на орбитата.

Схема с траекторията на приближаване (Approach trajectory), маневрата за навлизане в орбита (MOI), началната орбита (Insertion orbit) с апоцентър на 50 300 km и работната орбита (Mission orbit) с означение 32 800 km, перицентър на 1514 km, точката на кацане на 19,5°N, 34°W, и часови деления по двете орбити.

Отговори

Решение

Схема на двете орбити на „Викинг-1“ около Марс с означения Apoapsis (50,300 km), 32,800 km, Periapsis (1514 km), номерация на витките и часове.

Решение:

Означаваме с $r_p$ и $r_a$ разстоянията от повърхността на Марс до перицентъра и до апоцентъра на дадена орбита, а с $R$ – радиуса на Марс. Тогава голямата полуос на орбитата ще бъде:

a = \frac{r_p + r_a + 2R}{2}

Орбиталния период на движение по орбитата $T$ определяме от третия закон на Кеплер:

\frac{a^3}{T^2} = \frac{\gamma M}{4\pi^2}

където $M$ е масата на Марс.

T = 2\pi \sqrt{\frac{a^3}{\gamma M}}

За големите полуоси на двете орбити получаваме:

a_1 = 29297\ \mathrm{km} \qquad a_2 = 20547\ \mathrm{km}

За орбиталните периоди намираме:

T_1 \approx 152000\ \mathrm{sec} \approx 42.27\ \mathrm{h} \qquad T_2 \approx 89000\ \mathrm{sec} \approx 24.83\ \mathrm{h}

Изборът на периодите на движение на космическия апарат по двете орбити е свързан с периода на околоосно въртене на Марс. Той е около 24 ч. 40 мин. Периодът на движение по първата орбита е приблизително равен на 1 ¾ от периода на оклоосно въртене на Марс. Така при всяко преминаване на „Викинг-1“ през перицентъра орбитата „Викинг-1“ успява да фотографира редуващи се последователно райони от повърхността на планетата, докато бъде избран най-подходящият терен за кацане. Навярно не се е наложило да се прави повече от една обиколка по тази орбита. Периодът на движение по втората орбита е близък, но не точно равен на периода на околоосно въртене на Марс Той е избран така, че при всяко преминаване на „Викинг-1” през перицентъра на орбитата, да има леко отместване на района от марсианската повърхност, който се оказва под близкия обзор на станцията. Това е с цел да се уточни изборът на подходящо място на кацане. Наистина, космическият апарат е започнал да се движи по тази орбита на 19 юни 1976 г., а кацането е било планирано за 4 юли. Но снимките на повърхността, предадени от „Викинг-1”, са показали, че районът от марсианската повърхност, попадащ под перицентъра на орбитата, е много неравен и опасен. Наложило се е да се изчака до 20 юли, когато станцията е започнала да прелита над по-подходящ терен от Марс в перицентъра на своята орбита. Едва тогава е била предприета маневрата за спускане към повърхността на планетата. (Всъщност истинският период на станцията е бил още по-близък до периода на околоосно въртене на планетата, в сравнение с получения от нас тук период. Ние получаваме тази стойност, защото използваме по-неточни начални данни).

Критерии за оценяване (общо 15 т.):

За правилни формули за големите полуоси на орбитите – 2 т.

За правилен начин за определяне на орбиталните периоди – 8 т.

За правилни числени стойности – 2 т.

За разсъждения относно избора на периодите – 3 т.

Оригинал в Архива: NOA2_2016_11-12problems.pdf · официални решения: NOA2_2016_11-12solutions.pdf