Съдържание

НОА 2016, II кръг (областен), 9–10 клас — Задача 2. Геостационарен спътник

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2016

XIX Национална олимпиада по астрономия 2016, областен кръг, възрастова група IX-X клас · 26 февруари 2016 г. · 15 т.

Условие

Вие основавате телевизионна агенция, която популяризира астрономията. Трябва да изведетете спътник в геостационарна орбита, който да излъчва телевизионния сигнал за сателитните антени на Земята.

Геостационарният спътник се движи по кръгова екваториална орбита синхронно с околоосното въртене на нашата планета. Така той „виси“ над една и съща точка от Земята. Височината на геостационарната орбита е 35786 км над земната повърхност.

Схема: Земя в центъра, около нея малка кръгова начална орбита с точка А отдолу, елиптична трансферна орбита до точка В отгоре и голяма геостационарна кръгова орбита.

Първоначално спътникът се движи около Земята по кръгова екваториална орбита с височина 500 км над земната повърхност. От точка А ракетните двигатели го изстрелват в трансферната елиптична орбита. Когато стига до точка В, с помощта на нов ракетен импулс той тръгва по геостационарната орбита.

А Намерете времето, за което спътникът достига от точка А до точка В.

Б Вие искате геостационарният спътник да се намира над точка от екватора с 25° източна географска дължина, така че да има добра видимост от България. Каква трябва да бъде географската дължина на пункта от земната повърхност, над който стартират ракетните двигатели на спътника в точка А?

Екваториалният радиус на Земята е 6378 км.

Отговори

Решение

Решение:

Да отбележим с $H$ = 35786 км височината на геостационарната орбита над земната повърхност, с $h$ = 500 км височината на първоначалната орбита на спътника и с $R$ = 6378 км радиуса на Земята. Голямата полуос на трансферната орбита ще бъде:

a = \frac{H + 2R + h}{2} = 24521\ \text{km}

Периодът на движение на спътника $T$ около Земята по трансферната орбита намиране с помощта на втория закон на Кеплер:

\frac{a^3}{T^2} = \frac{a_0{}^3}{T_0{}^2}

където $a_0 = H + R = 42164\ \text{km}$ е радиусът на геостационарната орбита, а $T_0 = 23^{h}56^{min}$ е периодът на движение по тази орбита, равняващ се на звездното денонощие.

T = T_0\sqrt{\frac{a^3}{a_0{}^3}} \approx 10.614^{\,h} \approx 10^{h}37^{min}

Времето за достигане на спътника до геостационарната орбита ще бъде половината от този период, или $t = T/2 \approx 5.307^{\,h} \approx 5^{h}18^{min}$ .

За времето $t$ Земята ще се завърти около оста си на ъгъл:

\alpha = \frac{t}{T_0}\cdot 360^\circ \approx 79.827^\circ \approx 79^\circ 50'

Когато спътникът достигне геостационарната орбита в точка В, под нея трябва да се намира точка от земната повърхност с 25° източна географска дължина. В момента, когато спътникът стартира от точка А на своята орбита, под точка В от орбитата му на земната повърхност трябва да се намира точка с географска дължина:

\lambda = \alpha + 25^\circ = 104^\circ 50'\ \text{и.д.}

В същия момент под точка А от орбитата на спътника трябва да се намира диаметрално портивоположната точка от земната повърхност, чиято географска ширина ще бъде:

\lambda' = \lambda - 180^\circ = -75^\circ 10' = 75^\circ 10'\ \text{з.д.}

Критерии за оценяване (общо 15 т.):

За правилен математически метод за намиране на времето за достигане до геостационарната орбита – 7 т.
За правилно използване на звездното (а не на слънчевото) денонощие – 1 т.
За правилен числен отговор – 1 т.
За правилен начин за определяне на географската ширина на точката от земната повърхност под точка А от орбитата – 5 т.
За верен числен отговор – 1 т.

Оригинал в Архива: NOA2_2016_9-10problems.pdf · официални решения: NOA2_2016_9-10solutions.pdf