НОА 2016, III кръг (национален), 11–12 клас — Задача 1. Космопорт

• А 37.626 h

  $t_0 = 135454^\mathrm{s} = 37.626^\mathrm{h} = 1^\mathrm{d}.5677 = 1^\mathrm{d}\,13^\mathrm{h}\,37^\mathrm{m}\,34^\mathrm{s}$.

• Б Заради атмосферната рефракция платформата няма да залязва в точка B, а в точка B′ под математическия хоризонт; рефракцията действа два пъти (при преминаването над земната повърхност и отново при излизането през атмосферата), така че за наблюдателя в кораба преместването е на двойно по-голям ъгъл $2\rho = 70'$ и станцията се скрива по-късно.

• В 38.749 h

  $t = t_0\cdot(\alpha + \rho)/\alpha = 1.03\,t_0 = 38^\mathrm{h}.749$.

• Г 21.8 звездна величина (m)

  Само от поглъщането в атмосферата звездната величина нараства с около $22^\mathrm{m}$; от увеличеното разстояние AB ≈ 4588 km спрямо 20 km – с още $\Delta m \approx 11.8^\mathrm{m}$. Приблизително $21.8^\mathrm{m}$ – далеч над граничната звездна величина за невъоръжено око, т.е. проблясъкът няма да се вижда.

Космическите апарати се движат по кръгови орбити. Затова те имат постоянна ъглова скорост. Разглеждаме движенията на платформата във въртяща се координатна система с начало в центъра на Земята и с ос свързана с космическия кораб. В тази система изоставането на платформата от космическия кораб се дължи на това, че тя се движи по орбита с по-голям радиус. Относителната ъглова скорост на кораба, спрямо платформата ще бъде:

Реципрочните стойности на периодите изразяваме от третия закон на Кеплер:

Оттук следва:

Времето $t_0$ за завъртане на ъгъл $2\alpha$, при движение с ъглова скорост $\omega_0$ е:

Оттук следва:

Тук $r_1 = R + h_1$, $r_2 = R + h_2$, където $R$ е екваториалният радиус на Земята.

Ъгъл $\alpha$ получаваме от правоъгълните триъгълници, които виждаме на фиг.1:

Тук $h_0$ е средноаритметично от височините на двата космически апарата.

Пресмятаме и получаваме $t_0 = 135454^\mathrm{s} = 37.626^\mathrm{h} = 1^\mathrm{d}.5677 = 1^\mathrm{d}\,13^\mathrm{h}\,37^\mathrm{m}\,34^\mathrm{s}$

Когато, обаче, отчетем атмосферата, ситуацията се променя. За наблюдател в точка H на повърхността на Земята, платформата няма да залязва, когато се намира в точка B, а когато е в точка B′, под математическия хоризонт. Причината е в атмосферната рефракция, която е следствие от пречупването на светлината. Пречупването е следствие от това, че светлината се разпостранява в атмосферата с по-малка скорост, която се променя непрекъснато, поради промяна в плътността и температурата на средата. Затова наблюдателят вижда обекти, които са по-ниско от математическия хоризонт. В разглеждания случай рефракцията действа два пъти, защото при преминаване над повърхността на Земята и отново през атмосферата, за да достигне до космичестият кораб A, светлината се пречупва отново и може да бъде видяна от наблюдателите в космическия кораб, дори когато той е в точка A′. Ако ъгълът на рефракция е $\rho = 35'$, то за наблюдател на космическия кораб преместването на космическата платформа ще бъде на двойно по-голям ъгъл $2\rho = 70'$. Това означава, че ще трябва да измине допълнителен интервал от време, докато космическата платформа действително бъде видяна на хоризонта.

Възможно е да направим количествена оценка на допълнителния ъгъл и на влиянието на рефракцията, използвайки някои приближения. Забелязваме, че точка H се намира приблизително по средата на пътя на светлината от платформата към космическият кораб. Нека приемем, че след точка H, до точка A′, където е космическият кораб, рефракцията е нулева, а цялата рефракция се реализира преди светлината да достигне т. H. Тогава, относно наблюдател на Земята, платформата ще има двойна рефракция, както е означено на фиг.2.

Двете положения на платформата B′ и B″ ще се виждат под ъгъл $2\rho$. Понеже точка H е приблизително по средата на пътя на светлината, то от точка A′ дъгата B′B″ ще се вижда приблизително под двойно по-малък ъгъл $\rho$. Но ъгълът B′A′B″ е вписан ъгъл в окръжността на орбитата на кораба. Следователно централния ъгъл B′OB″ е двойно по голям от него, т.е. е равен на $2\rho$. Но това е ъгълът, под който се вижда допълнителната дъга, вследствие на рефракцията. Следователно към ъгъла AOB″ $= 2\alpha$ трябва да добавим ъгъл равен на $2\rho$ за да получим пълния ъгъл, на който трябва да се завърти платформата относно кораба, за да се скрие под хоризонта.

Добавяме ъгъла и получаваме:

Сравнението със Слънцето ни показва, че когато едно небесно светило е на хоризонта, намаляването на неговия блясък поради атмосферното поглъщане може да се изрази като увеличение на звездната му величина с $10.7^\mathrm{m}$ в сравнение с тази, която е имало в зенита при наблюдение от земната повърхност. Към това трябва да прибавим още $0.29^\mathrm{m}$, за да получим разликата между звездната величина на светилото, когато е на хоризонта и когато е изобщо извън атмосферата. Така за тази разлика получаваме около $11.0^\mathrm{m}$. Когато от нашия космически кораб наблюдаваме проблясъка от ракетните двигатели на кораба, изстрелван от станцията на хоризонта, обаче, ще трябва да удвоим този ефект, подобно на разглежданията при рефракцията на светлината. Оттук следва, че видимата звездна величина на проблясъка ще се увеличи с около $22^\mathrm{m}$.

Ще имаме и увеличение на видимата звездна величина поради факта, че ще наблюдаваме проблясъка от много по-голямо разстояние. Това разстояние ще бъде приблизително равно на отсечката AB на Фиг.1. Нейната дължина е:

При старта на първия кораб разстоянието, от което са били наблюдавани светещите ракетни струи, е било 20 км. От разстояние 4588 км, видимата звездна величина на това светене ще се увеличи. Можем да пресметнем това увеличение, като използваме факта, че видимият блясък е обратно пропорционален на квадрата на разстоянието до източника. Така за увеличението на звездната величина получаваме:

Приблизително, звездната величина на проблясъка на хоризонта ще бъде $21.8^{\,\mathrm{m}}$.

Но само оценката на поглъщането на светлината е достатъчна да ни убеди, че видимата звездна величина на проблясъка от ракетните двигатели ще е далеч над граничната звездна величина на най-слабите звезди, които можем да виждаме с невъоръжено око.

Критерии за оценяване (общо 15 т.)

За правилен метод за определяне на времето, след което станцията ще се скрие под хоризонта – 4 т.

За правилен числен отговор – 1 т.

За правилен коментар относно влиянието на рефракцията – 2 т.

За правилен подход при числената оценка на ефекта от рефракцията 3 т.

За правилен числен отговор – 1 т.

За правилни разсъждения относно поглъщането на светлината, увеличаването на разстоянието и видимостта на проблясъка – 3 т.

За количествена оценка и заключение – 1 т.