НОА 2016, III кръг (национален), 11–12 клас — Задача 2. Гравитационна леща

• А 2.749 M☉

  $r = v\mathrm{T}/(2\pi) = 2.292\times10^6$ km, откъдето по III закон на Кеплер $M = 2.749\ M_\odot$.

• Б 0.275 "/yr

  $\mu = v_T/d = 0.275\ ''/\text{yr}$.

• В $\alpha_{Q2} = 18^\mathrm{h}01^\mathrm{m}10.0763^\mathrm{s}$, $\delta_{Q2} = -23^\circ26'38''.683$

  Отклонението, дължащо се на гравитацията на P, е $\theta = 0.025''$ с компоненти $\theta_\alpha = -0.0117''$ и $\theta_\delta = -0.0222''$; точността на решението е $0.003''$.

А) Орбиталният период на двойната звезда е Т=10 h. Зрителният лъч лежи в равнината на орбитите, т.е. максималната разлика в лъчевите скорости v = 400km/s е равна на кръговата скорост по относителната орбита (на едната компонента спрямо другата). Радиусът r на относителната орбита може да бъде намерен от съотношенията:

Масата M на системата намираме от III закон на Кеплер:

Б) Собственото движение $\mu$ по абсолютна стойност е тангенциалната скорост ($v_T = 13.86$ km/s), разделена на разстоянието (d=10.6 pc):

Ако $v_T$ е в km/s, а d – в km, получаваме $\mu$ в rad/s. След превръщане се получава:

В) Първо, ще разглеждаме двойната система P като единичен масивен обект с маса 2.749 $M_\mathrm{O}$, тъй като разстоянието, на което наблюдаваните лъчи от Q преминават относно P е $b \gg r$. Звездата Q е на много голямо разстояние, затова спрямо системата P и наблюдателя лъчите от Q са успоредни, а паралаксът $\pi_Q = 0.002''$ е пренебрежим.

Нека $\delta$ е наблюдаваното ъглово разстояние между P и Q, а $\delta_0$ е ъгловото разстояние, такова каквото то би било, ако масата на P не изкривяваше пътя на светлината от Q и светлината се движеше по права. От фиг.1 се вижда, че отклонението на видимото положение на Q по небето, причинено от масата на P, също е ъгъл $\theta$ (двата ъгъла $\theta$, отбелязани на чертежа, са кръстни). Тогава $\delta = \delta_0 + \theta$ и $b = (\delta_0 + \theta)d$. Следователно:

Намираме ъгловото разстояние $\delta_1$ между P и Q на 15.07.2016:

$\delta_1 = 0.675''$ => Отклонението на положението на Q, причинено от гравитационното влияние на P е $\theta_1 = 0.003''$ и е почти пренебрежимо.

На фиг. 2 са показани схематично положенията на двете звезди на 15.07.2016 (P$_1$ и Q$_1$) и на 06.09.2018 (P$_2$ и Q$_2$). Видимото отместване на P на фона на звездите е суперпозиция от два ефекта: собственото движение и паралактичното отместване. По условие собственото движение е изцяло насочено по ректасцензия, т.е. има компоненти $(\mu_\alpha\cos\delta,\ \mu_\delta) = (-0.275,\ 0)\ ''/\text{yr}$.

Забелязваме, че двете звезди се намират почти точно в точката на зимното слънцестоене. Тъй е на еклиптиката, P ще се отмества паралактично успоредно на нея, по права. В точката на зимното слънцестоене линеен елемент на еклиптиката е успореден на небесния екватор, т.е. паралактичното отместване на P също ще е изцяло по ректасцензия. Следователно P ще се движи изцяло по ректасцензия.

Нека да намерим ъгловото отместване по ректасцензия $s = P_1P_2$. То ще е $s = s_\mu + s_\pi$, където $s_\mu$ е отместването, породено от собственото движение, а $s_\pi$ е паралактичното отместване. Времето между двете наблюдения е $\Delta t = 2\text{yr }53\text{d} = 2.145$ yr

На фиг.3 са отбелязани положенията на Земята в моментите 1 и 2. Видно е, че звездата P е отместена на запад, затова отместването $s_\pi$ е отрицателно. Ъгълът, съотвестващ на $|s_\pi|$, е отбелязан на чертежа. Моментите 1 и 2 са съответно 24 d и 87 d след лятното слънцестоене, когато P се е намирала на $180^\mathrm{o}$ от Слънцето. Земята изминава по орбитата си 360/365.25 = 0.986 градуса на ден => $\varphi_1 = 23.6^\mathrm{o}$, $\varphi_2 = 85.7^{\,\mathrm{o}}$. От геометрични съображения отместването е:

където $\pi_P = 1/d[\text{pc}] = 0.0943''$. От тук $s_\pi = -0.0563''$

Цялото отместване по ректасцензия от P$_1$ до P$_2$ (фиг. 2) е:

Разликата в ректасценциите в момент 1 съответства на ъгъл

Разликата в ректасцензиите на P$_2$ и Q$_1$ е намаляла до $\Delta\alpha = 0.673'' + s = 0.027''$

Разликата в деклинациите на P$_2$ и Q$_1$ все още е $\Delta\delta = \delta_P - \delta_Q = 0.051''$

Но заради изкривяването на светлинните лъчи около звездата P звездата Q вече се наблюдава в точка Q$_2$, право навън от P$_2$ на фиг.2. Ъгловото разстояние между P$_2$ и Q$_1$ е $\delta_0 = (\Delta\alpha^2 + \Delta\delta^2) = 0.058''$.

Полагаме $u = 4GM/(dc^2) = 2.114\times10^{-3}\ \text{arcsec}^2$ и

Квадратното уравнение има решение при $\theta = 0.025''$. Това е отместването на видимото положение на звездата Q, причинено от гравитацията на звездата P, която преминава близо до правата Земя-Q. Екваториалните компоненти на отместването са:

Отместване от $-0.0117''$ по ректасцензия съответства на разлика в ректасцензиите:

Нанасяйки тези корекции върху координатите на Q1, получаваме координати за Q2:

Даденото решение е с точност $0.003''$, тъй като пренебрегваме изкривяването на светлината в момент 1.

Критерии за оценяване (общо 15 т.):

Правилен чертеж (фиг. 2) или описание на ефекта: 3т.

Правилно отчитане на паралактичното отместване (фиг. 3): 2т.

Пресмятане на ъгъла на отместване θ и отговор (+фиг. 1): 10 т.