Съдържание

НОА 2016, III кръг (национален), 11–12 клас — Задача 3. Двойна неутронна звезда

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2016

XIX Национална олимпиада по астрономия 2016, национален кръг, възрастова група XI-XII клас · 7 май 2016 г. · 15 т.

Условие

Пулсарът PSR B1913+16 е открит през 1974 г. с радиотелескопа Аресибо. Той е компонента в тясна двойна система с период 7.75 часа. Предполага се, че другата компонента е също неутронна звезда и че масите на двете компоненти са приблизително равни.

Оценете стойността на тези маси като използвате данните от кривата на лъчевата скорост на пулсара.

На графиката е дадена лъчевата скорост на пулсара относно центъра на масите на системата. Орбиталната равнина на двойната система е наклонена на 43° спрямо зрителния лъч от нас към нея.

Лъчева скорост на пулсара PSR B1913+16 (в km s⁻¹) в зависимост от фазата на орбиталния период.

Справочни данни:

Величина	Стойност
Гравитационна константа	$6.672\times10^{-11}\ \mathrm{m^3kg^{-1}s^{-2}}$
Маса на Слънцето	$1.99\times10^{30}$ kg
Маса на Земята	$6\times10^{24}$ кг
Екваториален радиус на Земята	6378 км
Рефракция на хоризонта	$35'$

Отговори

Решение

Отначало нека да предположим, че зрителният лъч от нас към пулсара лежи в неговата орбитална равнина и че е перпендикулярен на голямата ос на елиптичната му орбита. Тогава максимумите в кривата ще отразяват моментите, когато пулсарът е преминавал през апоцентъра на орбитата си и съгласно втория закон на Кеплер, скоростта му е била минимална. Измерваме височината на един максимум над нулевото равнище и получаваме 16 мм. Като използваме мащаба на скалата на скоростта пресмятаме, че скоростта на пулсара в апоцентъра на орбитата му е $v_a \approx 78.7\ \text{km/s}$ . Минимумите съответстват на най-голяма по абсолютна стойност скорост на движение на пулсара и това е скоростта му в перицентъра. Измерваме дълбочината на минимумите от нулевото ниво и получаваме 67 мм. Като изпозваме мащаба намираме, че скоростта на пулсара в перицентъра е $v_p \approx 329.5\ \text{km/s}$ . Това е впечатляваща скорост, която е равна на 0.1% от скоростта на светлината.

Да разгледаме относителното движение на пулсара в координатна система, в която другата компонента е неподвижна. Той ще описва около нея елиптична орбита, която ще наричаме относителна орбита. Понеже се приема, че двете компоненти са с почти еднакви маси M, то относителните скорости на пулсара в перицентъра и апоцентъра ще бъдат двойно по-високи от тези, които пресметнахме. Да означим с $v_p = 329.5 \times 2 = 659\ \text{km/s}$ и $v_a = 78.7 \times 2 = 157.4\ \text{km/s}$ скоростите на пулсара в перицентъра и апоцентъра на относителната орбита , с $r_p$ и $r_a$ – съответно разстоянието от пулсара до другата звезда в перицентъра и в апоцентъра, с a голямата полуос на относителната орбита, а с $v_0$ скоростта на движение на пулсара в точките от орбитата, които са крайща на малката й ос (това е кръговата скорост при движение по орбита с радиус, равен на a). Известно е, че:

v_0 = \sqrt{\frac{\gamma\cdot 2M}{a}}

Тук записваме за масата 2M, понеже това е сумата от масите на двете компоненти. За всички тези величини можем да напишем закона за запазване на енергията:

\frac{v_p^{\,2}}{2} - \frac{\gamma\cdot 2M}{r_p} = -\frac{\gamma\cdot 2M}{2a}

\frac{v_a^{\,2}}{2} - \frac{\gamma\cdot 2M}{r_a} = -\frac{\gamma\cdot 2M}{2a}

Също така, съгласно втория закон на Кеплер:

v_p r_p = v_a r_a

Като преобразуваме всички тези уравнения и изключим от системата някои неизвестни величини, получаваме следната зависимост:

v_0 = \sqrt{v_a v_p}

v_0 \approx 322.1\ \text{km/s}

Това е скоростта, с която пулсарът би се движил по кръгова орбита с радиус, равен на голямата полуос a , при това със същия период. Следователно вече можем да намерим стойността на a от простото съотношение:

2\pi a = v_0 T

a = \frac{v_0 T}{2\pi}

a \approx 1.43\times 10^6\ \text{km}

Двете компоненти са отдалечени една от друга на разстояние, приблизително колкото диаметъра на нашето Слънце.

Известен ни е и орбиталният период на пулсара T. Можем да го включим в третия закон на Кеплер:

\frac{a^3}{T^2} = \frac{\gamma\cdot 2M}{4\pi^2}

От него накрая можем да намерим търсената маса:

M = \frac{2\pi^2 a^3}{\gamma T^2}

M \approx 1.11\times 10^{30}\ \text{kg}

Полученият резуртат е малко повече от половин слънчева маса, което е твърде малко за една неутронна звезда. Нека си спомним, обаче, че равнината на орбитата на пулсара е наклонена към зрителния лъч на ъгъл 43°. Не ни е известно как направлението на този наклон е ориентирано спрямо осите на елиптичната орбита. Във всеки случай наблюдаваните и отразени в графиката скорости са проекции на истинските и следователно са по-малки от тях. Това е причината да получим доста подценена стойност на масата на пулсара. Да приемем, че елипсата е завъртяна на дадения ъгъл на наклон около своята голяма ос. Тогава действителната кръгова скорост на пулсара ще бъде $1/\cos 43^\circ \approx 1.367$ по-висока. От нея ние намерихме голямата полуос на орбитата и я използвахме в третия закон на Кеплер, където тя е на трета степен. Следователно получената стойност за масата на пулсара ще следва да се умножи с числото $1.367^3 \approx 2.556$ и ще стане: M $\approx 2.84 \times 10^{30}$ kg $\approx 1.42$ слънчеви маси. Това вече е съвсем правдоподобна стойност за масата на една неутронна звезда.

Критерии за оценяване (общо 15 т.):

За правилно тълкуване на графиката, измерване и получаване на скоростите в перицентъра и апоцентъра – 4 т.

За правилен метод на определяне на масата, формули и разсъждения – 4 т.

За алгебрични пресмятания – 3 т.

За правилен числен резултат – 1 т.

За опит за отчитане на ъгъла на наклон на орбитата – 2 т.

За краен извод относно достоверността на резултата – 1 т.

Оригинал в Архива: NOA3_2016_11-12problems.pdf · официални решения: NOA3_2016_11-12solutions.pdf