НОА 2016, III кръг (национален), 7–8 клас — Задача 2. Пасаж на Меркурий

• А 5.2 часа

  3.667 ч. × 44 мм / 31 мм ≈ 5.20 часа = 5 ч. 12 мин. (по критериите: 3 т. за измерванията и пресмятането и 1 т. за числения отговор).

• В 23.5 дни

  Синодичният (относителен) период е P ≈ 25.1 дни; след отчитане на орбиталното движение на Земята P₀ = P·T/(T+P) ≈ 23.5 дни. Действителното въртене край слънчевия екватор е с период около 26 денонощия — разликата се дължи на неточността на измерванията.

Решение:

Поставяме малкия лист полупрозрачна хартия върху първото и последното (шестото) изображение, очертаваме и диска на Слънцето и отбелязваме положенията на слънчевото петно съответно с 1 и 6. Върху изображенията от 2 до 5 може да не отбелязваме положенията на петното, защото те са много близки. Използваме изображенията от 2 до 5, за да отбележим върху листа полупрозрачна хартия последователните положения на Меркурий по време на пасажа.

Прекарваме права линия през отбелязаните положения на Меркурий от 2 до 5. Измерваме дължината на хордата, описвана от планетата по слънчевия диск. Тя е 44 мм. Измерваме отсечката между двете крайни положения на планетата 2 и 5. Отсечката е с дължина 31 мм. На изображенията са написани съответните моменти от време. В положение 2 Меркурий е бил в 8:39 ч., а в положение 5 – 12:19 ч.. Между двата момента е изминало време 3.667 часа. Продължителността на целия пасаж на Меркурий е била:

Прекарваме права линия и през положенията на слънчевото петно, а след това измерваме съответната хорда по слънчевия диск. Нейната дължина е 63 мм, а отсечката, описана от петното, е 3 мм. Околоосното въртене на Слънцето, наблюдаваното петно се движи по паралел с радиус 63 мм / 2 = 31.5 мм. Обиколката на този паралел в мащаба на изображението е:

Петното е сравнително близо до централния меридиан на видимия слънчев диск и освен това се е придвижило на много малко разстояние. Ето защо можем да приемем приблизително, че отсечката, описана от петното, се равнява на дъгата от паралела, която то е изминало в интервала от време между 6:47 ч. и 15:54 ч. Моментите от време са написани на първото и последното изображение. Интервалът от време е:

Изразяваме дъгата, измината от петното, в градуси:

Накрая намираме периода на околоосно въртене на Слънцето за тази хелиографска ширина:

Но досега ние не сме отчели факта, че наблюденията са извършени от движещата се около Слънцето Земя (по-точно от космическата станция SOHO, която се върти около Слънцето синхронно със Земята). Така че, периодът, който получихме, е относителният период на въртене на петното около слънчевата ос за наблюдател от Земята. Въртенето на Слънцето около неговата ос и движението на Земята по орбитата й стават в една и съща посока. Земята прави една обиколка около Слънцето за време $T = 365.25$ дни. Да означим истинския период на въртене на Слънцето с $P_0$. В сила е съотношението:

Оттук намираме:

Слънцето не се върти около оста си като твръдо тяло и различни зони по хелиографска ширина се въртят с различни периоди. Най-бързото въртене е около слънчевия екватор и то става с период около 26 денонощия. Тук ние получихме малко по-малка стойност, но това се дължи на значителната неточност на нашите измервания.

Критерии за оценяване (общо 13 т.)

За прекопиране на положенията на Меркурий и слънчевото петно от изображенията – 2 т.

За измервания и пресмятане на продължителността на пасажа – 3 т.

За правилен числен отговор – 1 т.

За измервания и правилен математически метод на определяне на периода на околоосно въртене – 4 т.

За отчитане на орбиталното движение на Земята – 2 т.

За правилен числен отговор – 1 т.