НОА 2016, IV кръг, Младша възраст — Задача 2. Юпитер и Луната

• 5.7 a.e.

  Разстоянието Земя–Юпитер ЗЮ ≈ 5.7 а.е. (грешката, оценена в решението, е не по-голяма от 0.1 а.е.). Видимият ред на Галилеевите спътници отляво надясно е Калисто, Ганимед, Йо и Европа; възможна е и размяна на Ганимед с Европа.

Решение:

Нека начертаем разположението на планетата Юпитер, Луната и Слънцето в момента на осъществяване на снимката. От фотографията се вижда, че ъгловото разстояние от Юпитер до центъра на видимия диск на Луната е по-малко от диаметъра на видимия лунен диск $(0,5^{\circ})$. Ето защо, можем да приемем, че Луната и Юпитер се намират в една и съща посока за фотоапарата. (1 точка)

По такъв начин, разположението на телата съответства на схемата, показана на Фиг.1 (без да е спазен мащабът). (2 точки)

Фиг. 1

За да определим разстоянието от Юпитер до Земята в момента на фотографирането, трябва да определим елементите на триъгълника СЗЮ, в който страната СЗ = 1 AU е радиусът на земната орбита, СЮ = 5.2AU – радиусът на орбитата на Юпитер, а ЗЮ – търсеното разстояние. Страната ЗЮ в триъгълника може да намерим, използвайки косинусовата теорема:

ако ни е известен ъгълът ε. (3 точки)

За да намерим ъгъла ε, ще използваме промените на лунните фази, изобразени на фотографията. Разглеждаме триъгълника ЗЛС. В него страната ЗС е примерно 400 пъти по-голяма от ЗЛ, така че можем да приемем ъгъла при върха С за близък до 0, а ъгъла при върха Л за равен на $180^{\circ} - \varepsilon$. По такъв начин, ъгълът при върха на сектора, оцветен в черно на чертежа (а следователно и двустранният ъгъл „изрязващ” част от площта на Луната, осветена от Слънцето и видима от Земята, е равен на ε (виж Фиг. 2). (2 точки)

При проектиране на изображението на Луната върху небесната сфера се получава „сърп”, както е изобразен на фиг. 2, чиято най-голяма ширина O′F може да бъде определена като OO′ − OF.OO′ = OF′ = R$_{Луна}$, където R$_{Луна}$ е видимият радиус на Луната.

Или, можем да напишем следния израз за O′F:

(3 точки)

Измерванията, които можем да направим от фотографията, дават следните данни:

Следователно:

(2 точки)

Замествайки в косинусовата теорема известните ни вече величини, получаваме квадратното уравнение за разстоянието ЗЮ:

положителният корен на което е търсеното разстояние ЗЮ ≈ 5.7 а.е. (1 точка)

Рис. №2

Оценка на грешката. Нека да оценим грешката при определяне на разстоянието. Абсолютната грешка при измерванията върху полето на фотографията е около 2 мм. Тя е свързана с редица неопределености при измерване на видимият диск на Луната и неравностите на терминатора (линията, разделяща осветената от неосветената част на Луната). Това дава абсолютна грешка равна на 0.05 при определянето на cos ε. Тя не оказва голямо влияние върху резултата, при изчисляването с точност до втората значеща цифра. По такъв начин, грешката при определянето на разстоянието се създава основно при грешки в пресмятанията и тя не е по-голяма от 0.1 а.е. (1 точка)

Нека сега да намерим възможното подреждане на галилеевите спътници и да пресметнем мащаба на изображението на Юпитер със спътниците. Диаметърът на видимия лунен диск на снимката е 11 см, следователно, диаметърът на видимия диск на Слънцето (намиращо се на разстояние 1 а. е. от Земята) на тази снимка също би бил 11 см. Ако ние отнесем разстоянието до Слънцето в този мащаб към истинското разстояние - (5.7 AU), то на тази снимка неговият диаметър би бил равен на 11/5.7 ≈ 2 см. По такъв начин, за спътниковата система на Юпитер 1 см на снимката съответства на линейния радиус на Слънцето, равен на $7.10^{5}$ км. Измервайки по снимката разстоянията между Юпитер и спътниците му, получаваме:

1. Спътникът, разположен в левия край, се намира на разстояние от Юпитер, равен на диаметъра на Слънцето, т. е. $7.10^{5}$ км. Следователно, този спътник може да бъде само Калисто. (1 точка)

2. Вторият в ляво спътник е отдалечен от Юпитер малко повече, отколкото е слънчевият радиус. Следователно, той може да бъде или Ганимед, или Калисто, но последният трябва да го изключим, тъй като неговото положение вече е определено. (1 точка)

3. Спътникът, разположен накрая отдясно, отстои от Юпитер малко по-далече, отколкото е радиусът на Слънцето. Следователно, той може да бъде всеки от галилеевите спътници, с изключение на Йо, но тъй като положението на Ганимед и Калисто бе вече определено, остава той да бъде Европа. (1 точка)

4. Най-близко разположеният до Юпитер спътник по метода на изключването го определяме като Йо, макар че в това положение може да се намира всеки от четирите галилееви спътника. (1 точка)

По такъв начин се получава следният ред във видимото разположение на спътниците на Юпитер (започвайки от ляво на дясно): Калисто, Ганимед, Йо и Европа.

При това, ние трябва да направим следното уточнение. Вторият вляво спътник се намира на разстояние 1.1 см от центъра на Юпитер. Грешката при това измерване на разстоянието е около 1 мм, тъй като положението на центъра на Юпитер може да се определи твърде неточно поради размития характер на неговото фотографско изображение. Също така, поради грешката при измерването, 1 см съответства на радиуса на Слънцето приблизително и най-вероятно радиусът е малко по-малък. Следователно, спътникът Европа може да не се намира в своето най-отдалечено от Юпитер положение и тогава можем да го идентифицираме със втория в ляво спътник.

Ето защо, редът на спътниците, който описахме по-горе, е най-вероятен (и в крайна сметка истинският!)., Възможно е подреждане с размяна на Ганимед с Европа и обратно.