НОА 2017, II кръг (областен), 7–8 клас — Задача 2. Венера в XVII век

• А) $r'' / r' \approx 0.7$

  От измерените върху зарисовката диаметри $d_1 = 65.5$ mm и $d_5 = 11.5$ mm (или $d_1$ и $d_3 = 27$ mm) се получава един и същ резултат.

• Б) Фаза 1 – тънък сърп, близо до долно съединение, малко източно от Слънцето; фаза 2 – малко по-осветена, до нея; фаза 3 – полудиск, максимална източна елонгация (ъгълът Слънце – Венера – Земя е прав); фаза 4 – почти цялата осветена страна е към Земята; фаза 5 – най-малки ъглови размери, близо до горно съединение (положение 5а или 5б, изток или запад не може да се определи).

Решение:

Да номерираме изображенията на Венера, зарисувани от Галилей, от 1 до 5.

На зарисовките се вижда как се променя не само фазата на Венера, а и нейният видим размер. Промяната на видимия размер се дължи на изменението на разстоянието между Венера и земния наблюдател. На схемата към нас е обърнат северният полюс на Земята и околоосното въртене на Земята, също както и орбиталното движение на планетите става обратно на часовниковата стрелка.

Във фаза 1, както я е зарисувал Галилей, Венера е с голям видим ъглов размер и изглежда като много тънък сърп – към нас е обърната по-голямата част от нейната неосветена от Слънцето страна. Това означава, че Венера е близо до долно съединение, когато разстоянието между нея и Земята е минимално. Сърпът на Венера е с изпъкналата си страна надясно, следователно за земния наблюдател в северното полукълбо, където е Италия, тя е на малко ъглово отстояние източно от Слънцето, или в положение 1 на схемата.

Във фаза 2 според зарисовката, от Земята се вижда малко повече от осветената от Слънцето страна на Венера и тя се намира в положение 2 на схемата.

Във фаза 3 точно половината от видимата за Земята страна на Венера е осветена. Това означава, че Венера е в максимална източна елонгация и ъгълът Слънце – Венера – Земя е прав. Венера е в положение 3 на схемата.

Във фаза 4 към Земята е обърната по-голямата част от осветената от Слънцето страна на Венера. Само малка част от неосветената ѝ страна е към земния наблюдател от източната (лявата) страна на планетата. Тогава тя е в положение 4 на схемата.

Във фаза 5 Галилео Галилей е виждал почти цялата осветена страна на Венера и планетата е била с най-малки ъглови размери. Тогава Венера е била близо до горно съединение, когато е максимално отдалечена от Земята. Все пак, за да може да се наблюдава от нашата планета, тя не трябва да е твърде близо по ъглово отстояние от Слънцето. Тъй като Галилей я е нарисувал като пълен кръг, Венера вероятно е била в едно от положенията 5а или 5б, но не може да се каже точно дали е била на изток или на запад от Слънцето.

За да определим радиуса на орбитата на Венера в астрономически единици, нека вземем две нейни положения – 1 и 5. Да означим радиусите на орбитите на Земята и Венера около Слънцето съответно с $r'$ и $r''$. Понеже от нас се иска приблизително решение, ще считаме, че в положение 1 Венера е била на разстояние от Земята $r_1 = r' - r''$, а в положение 5 – на разстояние $r_5 = r' + r''$. Измерваме диаметрите на Венера върху зарисовката в положенията 1 и 5. Получаваме: $d_1 = 65.5\ \mathrm{mm}$, $d_5 = 11.5\ \mathrm{mm}$. Тези диаметри са пропорционални на видимите ъглови диаметри на планетата, както е била наблюдавана от Галилей. Следователно те трябва да са обратно пропорционални на разстоянията между Земята и Венера в двата случая. Така получаваме:

За да намерим радиуса на орбитата на Венера в астрономически единици, ние фактически трябва да пресметнем отношението $r''/r'$:

Радиусът на орбитата на Венера е приблизително 0.7 астрономически единици, което е доста точен резултат.

Може да намерим този радиус като използваме и друга комбинация от положения на Венера – 1 и 3. Измерваме видимия диаметър на Венера върху зарисовката във фаза 3. Получаваме $d_3 = 27\ \mathrm{mm}$. Да означим разстоянието от Земята до Венера в положение 3 с $r_3$. В сила е съотношението:

Когато Венера е в положение 3, триъгълникът Слънце – Венера – Земя е правоъгълен и за него можем да напишем Питагоровата теорема:

От последните две уравнения намираме:

Така получаваме същия резултат и още веднъж се убеждаваме, че Галилей е направил своите зарисовки наистина точно.

Критерии за оценяване (общо 12 т.):

За правилна идея и избор на две положения на Венера с цел определяне на орбиталния радиус по един от начините – 2 т.

За измервания върху зарисовките – 2 т.

За алгебрични преобразувания – 2 т.

За верен числен резултат – 1 т.

За правилно нанасяне на петте положения на Венера върху схема и обяснение – 5 т.