НОА 2017, II кръг (областен), 9–10 клас — Задача 4. Лунна станция

• $T \approx 7071$ s; $t_{12} \approx 5.9$ s, $t_{23} \approx 11.2$ s, $t_{34} \approx 11.8$ s; снимките са направени около есенното равноденствие.

  Виж решението за измерванията върху снимките.

• А) $t_{12} \approx 5.9$ sec, $t_{23} \approx 11.2$ sec, $t_{34} \approx 11.8$ sec

  При орбитален период на станцията $T \approx 7071$ s $\approx 1.96$ h и ъглов диаметър на Земята $\delta \approx 1.9^\circ$.

• Б) Около есенното равноденствие (края на септември).

  Земният терминатор минава близо до полюсите, а земната ос е леко наклонена наляво на снимките – изглед, характерен за есенното равноденствие.

Решение:

Измерваме на снимката диаметъра на Земята, който се оказва $d = 28.5$ mm. Измерваме също така височината над лунния хоризонт на най-горната точка от видимия земен диск в четирите различни положения и получаваме $h_1 = 7$ mm, $h_2 = 11.5$ mm, $h_3 = 20$ mm, $h_4 = 29$ mm.

Да означим разстоянието между Земята и Луната с $r$, а диаметъра на Земята в километри с $D = 2 \times 6371$ km $= 12742$ km. Видимият от Луната ъглов диаметър на Земята ще бъде:

Като използваме измерванията върху снимката, можем да получим с колко градуса се е издигнала Земята над хоринта при наблюдение от станцията Kaguya между първото и второто положение:

По аналогичен начин получаваме с колко градуса се е издигнала Земята между второто и третото положение, както и между третото и четвъртото положение:

За да намерим времевите интервали между отделните снимки, трябва да определим орбиталния период $T$ на космическата станция. Означаваме с $R$ радиуса на Луната, с $H$ височината на орбитата на станцията над лунната повърхност и с $M$ масата на Луната. Използваме третия закон на Кеплер:

По-нататък пресмятаме:

Съответните времеви интервали между снимките ще бъдат:

По времето, когато са направени снимките, за лунния наблюдател Земята е изглеждала като пълен светъл кръг – била е във фаза „пълноземие“. Оттук следва, че Луната е била между Земята и Слънцето, близо до правата, която свързва центровете на тези две тела. От Луната се е виждала практически цялата осветена от Слънцето страна, или с други думи, обърнатата към Слънцето страна на Земята. На земното кълбо се различава континентът Австралия, а под него – леденият континет Антарктида. Следователно от горната страна е северният полюс на Земята, а от долната – южният полюс. Като разгледаме дадената ни географска карта, можем да се убедим, че земният екватор пресича почти през центъра видимия диск на Земята. Земният терминатор (линията, разделяща тъмната от светлата страна на земното кълбо) минава близо до полюсите на нашата планета. Следователно снимките са направени в момент, близък до пролетното или до есенното равноденствие.

Орбитата на космическата станция е полярна. Това означава, че посоката надолу върху изображенията е успоредна на лунния меридиан, над който лети станцията. Оста на Луната е почти вертикална към равнината на еклиптиката. Оста на земното кълбо, както е изобразено на снимките, е леко наклонена наляво. От схемата по-горе виждаме, че подобен изглед би имало земното кълбо около есенното равноденствие. Именно в този период са били направени снимките от станцията.

Критерии за оценяване (общо 12 т.):

За измервания върху снимките на височините на характерна точка от Земята над лунния хоризонт – 2 т.

За правилни пресмятания на височините в градуси или дъгови минути – 2 т.

За определяне на орбиталния период на станцията – 3 т.

За пресмятане на времевите интервали – 2 т.

За разсъждения относно времето от годината, когато са направени снимките – 2 т.

За правилен краен извод – 1 т.