Съдържание

НОА 2017, III кръг (национален), 11–12 клас — Задача 2. Мисия Марс

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2017

XX Национална олимпиада по астрономия 2017, национален кръг, теоретичен тур, възрастова група XI-XII клас · 6 май 2017 г. · 15 т.

Внимание: Бележка към темата

Блокът „Справочни данни“ липсва във файла с условията от архива — той е отпечатан само във файла с решенията и е приложен в края на решението на задача 3.

Условие

Вие работите в Европейската космическа агенция и планирате изпращането на товарен кораб до Марс, който да достави материали и оборудване за бъдещата пилотирана мисия до Червената планета. Товарът трябва да стигне до Марс по най-икономичния възможен начин.

Считайте, че земната орбита е кръгова. Вашите разглеждания започват, когато корабът се движи по инерция по земната орбита и се намира в точка, достатъчно отдалечена от Земята, така че да се пренебрегне нейното гравитационно въздействие. Тогава ракетните двигатели придават на кораба кратък импулс и се изключват. В резултат корабът тръгва по елиптична траектория към Марс. Целта е накрая с още един кратък ракетен импулс корабът да влезе в елиптична орбита около Марс. Разстоянието на кораба от Марс в апоарий трябва да е равно на $x_a$ , а разстоянието в периарий да е равно на $x_b$ .

А) Намерете общо теоретично решение за величините и посоките на измененията на скоростта, които космическият кораб трябва да получи чрез задействането на ракетните си двигатели в началото и в края на своя път към Марс. Кое е по-лесно да стане – корабът да тръгне по орбитата си около Марс в посока на околоосното въртене на планетата, или в обратната посока?

Б) Определете в какъв случай осъществяването на този космически полет ще бъде енергетически по-изгодно – когато при достигането на кораба близо до марсианската орбита Марс е в перихелия на своята орбита, или когато е в афелия. Параметрите на орбитата на кораба около Марс са $x_a = 50000$ км , $x_P = 3690$ км.

Отговори

Решение

Първо разглеждаме пътуването на кораба от Земята към Марс. Отначало той се движи по земната орбита с изключени двигатели. Трябва да му придадем кратък ракетен импулс, така че да се отправи в елиптична орбита около Слънцето, достигаща в афелий до орбитата, или почти до орбитата на Марс. Колкото по-далеч искаме да изпратим кораба, толкова повече гориво трябва да изразходваме при този първоначален импулс. Крайната цел е корабът да влезе в орбита около Марс със зададени параметри. За да спестим средства, трябва да планираме елиптичната траектория на кораба към Марс така, че в своя афелий той да достигне до точка, която ще представлява апоария на орбитата му около Марс.

Орбитите на Земята и Марс със свързващата ги елиптична траектория на кораба — Схема на прелета: кръгова орбита на Земята, орбита на Марс, елиптична траектория на кораба с перихелий P при Земята и афелий A на разстояние $x_a$ от Марс.

Да означим с $r_o$ и $r_m$ разстоянията от Земята до Слънцето и от Марс до Слънцето. Голямата полуос на орбитата на кораба около Слънцето ще бъде:

a = \frac{r_o + r_m - x_a}{2}

За ексцентрицитета на орбитата намираме:

e_o = \frac{a - r_o}{a}

В перихелия на орбитата на кораба към Марс, неговата скорост трябва да бъде:

v_p = v_o\sqrt{\frac{1 + e_o}{1 - e_o}}

където $v_o = \sqrt{\dfrac{\gamma M}{a}}$ , M – маса на Слънцето

Първоначалната скорост на кораба е била равна на земната орбитална скорост:

v_{oo} = \sqrt{\frac{\gamma M}{r_o}}

Сега остава да намерим с колко трябва да се увеличи скоростта на кораба в резултат на първия ракетен импулс:

\Delta v_1 = v_p - v_{oo}

Скоростта на кораба в неговия афелий е:

v_a = v_o\sqrt{\frac{1 - e_o}{1 + e_o}}

Ако приемем, че Марс се движи по кръгова орбита около Слънцето, то неговата скорост ще бъде:

v_m = \sqrt{\frac{\gamma M}{r_m}}

Скоростта на космическия кораб в афелий ще бъде по-малка от орбиталната скорост на Марс. В координатна система, свързана с Марс, скоростта на кораба ще бъде:

v' = v_m - v_a

Тя ще бъде насочена обратно на движението на Марс. В този момент отново се задействат ракетните двигатели и коригират скоростта така, че корабът да влезе в зададената елиптична орбита около Марс. Понеже космическият кораб се намира от вътрешната страна на марсианската орбита и има първоначална скорост в посока обратна на орбиталното двигение на Марс, ще бъде по-лесно да накараме кораба да се движи по новата си орбита около Марс в посока на околоосното въртене на планетата, а не обратно.

Възможни са два случая – скоростта $v'$ да се окаже по-малка от скоростта в афелий на новата му орбита около Марс., или пък да е по-голяма. В първия случай ракетният импулс трябва да ускори кораба, а във втория – да го забави. Всичко зависи от това какви ще са параметрите на околомарсианската орбита на кораба.

Голямата полуос тази орбита е:

a_m = \frac{x_a + x_p}{2}

Тя има ексцентрицитет:

e_m = \frac{x_a - x_p}{x_a + x_p}

Скоростта на кораба около Марс в апоария ще бъде:

v_{am} = v_{om}\sqrt{\frac{1 - e_m}{1 + e_m}}

където $v_{om} = \sqrt{\dfrac{\gamma M_m}{a_m}}$ , $M_m$ е масата на Марс.

Вторият ракетен импулс трябва да промени скоростта на кораба с величината:

\Delta v_2 = v_{am} - v'

Сега остава да направим числените пресмятания за дадените по услови параметри на орбитата на кораба около Марс. Получаваме следните резултати за корекциите на скоростта в случаите, когато при достигане на кораба до марсианската орбита Марс е в афелий или перихелий:

	$\Delta v_1$	$\Delta v_2$	$\Delta v_1 + \Delta v_2$
Марс в афелий	3.53 км/с	1.71 км/с	5.24 км/с
Марс в перихелий	2.29 км/с	2.91 км/с	5.20 км/с

При дадената ситуация е малко по-добре да изберем момента на изпращане на кораба към Марс така, че той да достигне до Червената планета, когато тя е в перихелий. Но разликата между двете сумарни корекции на скоростта е незначителна.

Критерии за оценяване (общо 15 т.):

За общо съображение как трябва да изглежда траекторията на кораба към Марс – 1 т.
За пресмятанена параметрите на траекторията на кораба до Марс – 5 т.
За пресмятане на първата корекция на скоростта – 1 т.
За пресмятане на втората корекция на скоростта – 5 т.
За числени пресмятания – 2 т.
За краен извод – 1 т.

Оригинал в Архива: NOA3_2017_11-12problems.pdf · официални решения: NOA3_2017_11-12solutions.pdf