Съдържание

НОА 2017, III кръг (национален), 7–8 клас — Задача 2. Кеплер-11.

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2017

XX Национална олимпиада по астрономия 2017, национален кръг, теоретичен тур, възрастова група VII-VIII клас · 6 май 2017 г. · 15 т.

Условие

Планетната система Кеплер-11 е открита от космическия телескоп Кеплер през 2011 г. Централната звезда Кеплер-11a е подобна на Слънцето. Около нея по кръгови орбити се движат шест планети. Предполага се, че те са покрити с дълбоки водни океани и обвити с плътни атмосфери.

Данни за планетите от системата Кеплер-11

Планета	Маса (земни маси)	Радиус (земни радиуси)	Орбитален период (дни)	Голяма полуос (астр. единици)
b	1.9	1.8	10.3039	0.091
c	2.9	2.87	13.0241	0.107
d	7.3	3.12	22.6845	0.155
e	8.0	4.19	31.9996	0.195
f	2.0	2.49	46.6888	0.250
g	$<25$	3.33	118.3807	0.466

Вие сте странстващ галактически художник и търсите красиви космически пейзажи за рисуване. Спускате се в горните слоеве на атмосферата на Кеплер-11d. Какъв ще бъде видимият ъглов диаметър на Кеплер-11e в небето над вас в момент на максимално сближение между двете планети? А ако сте на планетата Кеплер-11b, какъв ще бъде видимият диаметър на Кеплер-11c при максимално сближение? С какви обекти от нашето земно небе бихте ги сравнили?
Орбитите на шестте планети лежат почти точно в една и съща равнина. Често от една планета може да се наблюдава преминаване (пасаж) на друга планета пред звездата. Изберете една планета, на която да отидете, за да наблюдавате най-значително закриване на светлината на звездата от преминаващата пред нея друга планета. Коя трябва да е другата планета? Нарисувайте в подходящ мащаб как ще изглежда планетата, преминаваща на фона на звездата. Радиусът на звездата е 116 земни радиуса.

Отговори

Решение

Решение:

При максимално сближаване на планетате Кеплер-11b и Кеплер-11c, те ще застанат на една права линия от едната страна на звездата и разстоянието между тях ще бъде:

r_{bc} = r_c - r_b

където $r_c$ и $r_b$ са големите полуоси на техните орбити. Да означим с $R_c$ радиуса на планетата Кеплер-11c. Нейният видим ъглов диаметър, изразен в дъгови минути, ще бъде:

\delta_c = \frac{2R_c}{r_{bc}} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} \cdot 60' \approx 52'

По аналогичен начин за видимия ъглов диаметър на планетата Кеплер-11e, при наблюдение от Кеплер-11d, можем да получим:

\delta_e = \frac{2R_e}{r_{de}} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} \cdot 60' \approx 31'

където $R_e$ е радиусът на планетата Кеплер-11e, $r_d$ и $r_e$ са големите полуоси на орбитите на двете планети, а $r_{de} = r_e - r_d$ е разстоянието между тях при максимално сближаване. Виждаме, че за наблюдател от Кеплер-11d планетата Кеплер-11e ще е с видимия ъглов размер на нашата Луна, гледана от Земята, а за наблюдател на планетата Кеплер-11b съседната планета Кеплер-11c ще бъде дори още по-голяма.

При пасаж на планета, за да се закрие повече от видимия диск на звездата, трябва планетата да има възможно най-голям видим ъглов размер, а звездата – най-малък. Това означава, че планетата трябва да е голяма и близо до нас, а звездата възможно по-далеч. На тези условия най-добре отговаря ситуацията, в която ние се намираме на планетата Кеплер-11f и наблюдаваме Кеплер-11e. Видимият ъглов размер на Кеплер-11e ще бъде:

\delta_{ef} = \frac{2R_e}{r_{ef}} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} \cdot 60' \approx 22'

където $r_{ef} = r_f - r_e$ . Видимият ъглов размер на звездата ще бъде:

\delta_s = \frac{2R_s}{r_{fs}} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} \cdot 60' \approx 135'

където $R_s$ е радиусът на звездата, а $r_{fs}$ е разстоянието до нея от планетата Кеплер-11f.

Голяма светла окръжност (звездата) с малко тъмно кръгче вътре вляво от центъра (планетата при пасаж). — Схема на пасажа в мащаб: светлият кръг е звездата, тъмното кръгче е планетата.

Схемата вляво показва как ще изглежда явлението. Светлият кръг е звездата, а тъмното кръгче в съответния мащаб е планетата, която минава на фона на видимия диск на звездата. Планетата е обърната към нас с тъмната си, неосветена от звездата страна.

Критерии за оценяване (общо 15 т.):

За правилен метод за определане на ъгловите размери на планетите – 4 т.
За верни числени резултати за двете планети – 2 т.
За определяне на ъгловите размери на звездата и на планетата при пасаж – 4 т.
За правилни числени резултати – 2 т.
За правилно представяне на явлението със схема в мащаб – 3 т.

Оригинал в Архива: NOA3_2017_7-8problems.pdf · официални решения: NOA3_2017_7-8solutions.pdf