НОА 2017, III кръг (национален), 9–10 клас — Задача 2. Кеплер-11

• А) $\delta_{e} \approx 31',\qquad \delta_{c} \approx 52'$

• Б) $m \approx -19^{m}.8$

  Около 1500 пъти по-ярко, отколкото пълната Луна за нас.

• В) Не – Кеплер-11c е външна планета за Кеплер-11b и никога не може да се види като тънък сърп. Максимално различната от пълната фаза се получава, когато Кеплер-11c е в квадратура за вътрешната планета; тогава фазовият ъгъл $SP_bP_c$ е най-голям и планетата се вижда леко „нащърбена“ (малко по-малко от половин диск е в сянка).

При максимално сближаване на планетате Кеплер-11b и Кеплер-11c, те ще застанат на една права линия от едната страна на звездата и разстоянието между тях ще бъде:

където $r_c$ и $r_b$ са големите полуоси на техните орбити. Да означим с $R_c$ радиуса на планетата Кеплер-11c. Нейният видим ъглов диаметър, изразен в дъгови минути, ще бъде:

По аналогичен начин за видимия ъглов диаметър на планетата Кеплер-11e, при наблюдение от Кеплер-11d, можем да получим:

където $R_e$ е радиусът на планетата Кеплер-11e, $r_d$ и $r_e$ са големите полуоси на орбитите на двете планети, а $r_{de} = r_{e} - r_{d}$ е разстоянието между тях при максимално сближаване. Виждаме, че за наблюдател от Кеплер-11d планетата Кеплер-11e ще е с видимия ъглов размер на нашата Луна, гледана от Земята, а за наблюдател на планетата Кеплер-11b съседната планета Кеплер-11c ще бъде дори още по-голяма.

За да определим видимата звездна величинан а планетата Кеплер-11c, в случай че я наблюдаваме от Кеплер-1b в противостояние (максимално сближаване), ще сравним осветеността $E_{cb}$, която тя създава, с осветеността $E_{o}$, създавана от нашето Слънце на Земята. Нека $L_o$ и $L$ са светимостите на Слънцето и на звездата Кеплер-11a, $r_o$ е разстоянието от Земята до Слънцето, $r_b$ и $r_c$ са разстоянията от планетите Кеплер-11b и c, $R_c$ е радиусът на планетата Кеплер-11c и $A$ е нейното албедо (отражателна способност). За осветеността, създавана от Слънцето при нас, можем да напишем:

За осветеността, създавана от Кеплер-11a (звездата) върху планетата Кеплер-11c, намираме:

Цялата светлинна енергия, която попада върху планетата Кеплер-11c, ще бъде:

Планетата ще отразява и разсейва в много посоки част от попадналата върху нея светлина. Така тя ще създава върху планетата Кеплер-11b осветеност:

Сега остава да сравним $E_{o}$ и $E_{cb}$. След някои алгебрични преобразувания получаваме:

Сега можем да използваме формулата на Погсън и като знаем видимата звездна величина на Слънцето $m_{o}$, да определим звездната величина $m$ на планетата Кеплер-11c за наблюдател, който се намира на Кеплер-11b:

Това е впечатляваща стойност. В небето на най-близката до звездата планета нейната съседка би светила около 1500 пъти по-ярко, отколкото пълната Луна за нас.

Планетата Кеплер-11c е външна планета за Кеплер-11b. затова от вътрешната планета тя никога не може да се види като тънък сърп. Максимално различна от пълната фаза се получава, когато Кеплер-11c е в квадратура за вътрешната планета. Общо взето, това зависи от фазовия ъгъл $SP_{b}P_{c}$. Планетата Кеплер-11c би се виждала в пълна фаза от другата планета, когато този ъгъл е равен на нула. Колкото той е по-голям, толкова повече фазата на планетата се отличава от пълната фаза. От схемата лесно можем да се убедим, че фазовият ъгъл е най-голям, когато външната планета е в квадратура. За всяко друго положение, например за положенията 1 и 2, фазовият ъгъл е по-малък. Отдясно е показано как примерно ще изглежда планетата Кеплер-11c за своята вътрешна съседна планета.

Критерии за оценяване (общо 15 т.):

За правилен метод за определяне на ъгловите размери на планетите 3 т.

За верни числени резултати – 2 т.

За правилен метод за определяне на видимата звездна величина на планетата Кеплер-11c – 5 т.

За правилен числен отговор – 1 т.

За правилни разсъждения относно фазата на планетата – 2 т.

За рисунка на изгледа на планетата – 2 т.