Съдържание

НОА 2018, II кръг (областен), 11–12 клас — Задача 2. Бяло джудже – пулсар

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2018

XXI Национална олимпиада по астрономия 2018, II кръг, ученици от 11-12 клас · 24 февруари 2018 г. · 15 т.

Условие

Променливата звезда AR Sco е открита преди около 40 години. Наскоро при детайлно изследване на нейната крива на блясъка се получават изненадващи резултати. Променливата се оказва двойна система от червено и бяло джудже. На Фиг. 2 е дадена схема на модела на системата, съставен от астрономите. Бялото джудже има необикновено поведение, подобно на пулсар. Около магнитните му полюси се ускоряват струи заредени частици до високи енергии. Магнитната му ос лежи приблизително в орбиталната равнина на системата и е почти перпендикулярна на оста на околоосното му въртене. Така периодично струите частици, изстрелвани от бялото джудже, попадат върху червеното джудже. Това повлиява цялата атмосфера на червеното джудже. На фиг. 3 е дадена кривата на блясъка на AR Sco. Светимостта на бялото джудже е несъществена в сравнение със светимостта на червеното джудже. Под кривата на блясъка е дадена крива на изменение на лъчевата скорост на червеното джудже. Орбиталният период на системата е 3.56 часа, а наблюдаваният период на кратковременните пулсации е 0.985 минути. Орбитите на компонентите са кръгови и зрителният лъч от земния наблюдател лежи в орбиталната равнина.

Две схеми на двойната система AR Sco: бяло джудже със силно магнитно поле и две струи високоенергетични заредени частици, и червено джудже със звезден вятър; на долната схема струята попада върху червеното джудже и образува ударна вълна.

Фиг. 2. Модел на системата AR Sco – към 4 задача.

Панел a: светлинен поток в условни единици спрямо орбитална фаза (0 до 2 цикъла) с два широки максимума; панел b: лъчева скорост от −300 до +300 km/sec, синусоида; вдясно увеличен участък от кривата на блясъка с импулси, повтарящи се с период 0.985 минути.

Фиг. 3. Крива на блясъка на AR Sco и крива на лъчевата скорост на червеното джудже – към 2 задача.

А) Разгледайте внимателно фигурите и обяснете кривата на изменение на блясъка на AR Sco.

Б) Определете периода на околоосно въртене на бялото джудже.

В) Смята се, че бялото джудже има маса приблизително равна на масата на Слънцето. Определете масата на червеното джудже в слънчеви маси и разстоянието между двете компоненти.

Отговори

Решение

Както се вижда от модела на системата, при околоосното въртене на бялото джудже в определени моменти една от струите високоенергетични заредени частици, изстрелвани от неговите околности, попада върху червеното джудже. Въздействието на струята води до краткотрайно усилване на блясъка на цялото червено джудже, но най-вече на областта от неговата атмосфера, където попада струята. Тази област се превръща в нещо като „горещо петно” с по-ярко излъчване. При орбиталното движение на системата „горещото петно” периодично се обръща към нас, земните наблюдатели. На това се дължи плавното изменение на блясъка на системата с период, равен на орбиталния период $T$ . Насложените върху кривата на блясъка краткопериодични импулси се дължат на непосредственото попадане на струите от бялото джудже върху червеното джудже. Струите, както се вижда от модела, са две. Следователно периодът между моментите, когато една и съща струя попада върху ччервеното джудже, е двойно по-голям от периода между краткотрайните повишения на блясъка:

P = 2 \times 0.985\ \text{минути} = 1.97\ \text{минути}

С $P$ сме означили периода на околоосно въртене на бялото джудже. Но това не е действителният период, а наблюдаваният от нас период. За да намерим истинския период $P_0$ , трябва да отчетем орбиталното движение на системата. Най-вероятно посоката на околоосно въртене на бялото джудже съвпада с посоката на орбитално движение. Тогава можем да напишем:

\frac{1}{P} = \frac{1}{P_0} - \frac{1}{T}

Оттук намираме:

P_0 = \frac{TP}{T+P}

P_0 \approx 1.95\ \text{минути}

От кривата на лъчевата скорост на червеното джудже виждаме, че тя достига по абсолютна стойност до 300 км/с. Според условието на задачата орбитите на двете компоненти в системата са кръгови и зрителнията лъч от земния наблюдател лежи в орбиталната равнина. Можем да приемем, че това е реалната орбитална скорост $v$ на червеното джудже около центъра на масите на двойната система. Нека означим с $M_{WD}$ и $M_{RD}$ масите на бялото и на червеното джудже, а с $a_{WD}$ и $a_{RD}$ – съответните разстояния на двете звезди до центъра на масите на системата. Разстоянието $a_{RD}$ намираме от уравнението:

vT = 2\pi a_{RD}

a_{RD} = \frac{vT}{2\pi} \approx 612000\ \text{km}

По условие $M_{WD} = 1$ слънчева маса. За двете компоненти можем да напишем:

M_{RD} a_{RD} = M_{WD} a_{WD}

Въвеждаме следното обозначение:

k = \frac{M_{RD}}{M_{WD}} = \frac{a_{WD}}{a_{RD}}

Оттук получаваме:

M_{RD} = k M_{WD}

a_{WD} = k a_{RD}

Използваме третия закон на Кеплер:

\frac{(a_{WD} + a_{RD})^3}{T^2} = \frac{\gamma (M_{WD} + M_{RD})}{4\pi^2}

където $\gamma$ е гравитационната константа. По-нататък пресмятаме:

\frac{a_{RD}^{\,3}(1+k)^3}{T^2} = \frac{\gamma M_{WD}(1+k)}{4\pi^2}

Оттук определяме:

k = \frac{T}{2\pi}\sqrt{\frac{\gamma M_{WD}}{a_{RD}^{\,3}}} - 1

k \approx 0.556

Накрая пресмятаме масата на червеното джудже и разстоянието $a$ между двете компоненти:

M_{RD} \approx 0.56\ \text{слънчеви маси}

a = a_{WD} + a_{RD} \approx 950000\ \text{km}

Критерии за оценяване (общо 15 т.):

За обяснение на кривата на блясъка – 4 т.
При определяне на периода на околоосно въртене на бялото джудже:
- За отчитане на факта, че струите са две – 1 т.
- За отчитане на орбиталното движение – 3 т.
- За верен краен резултат – 1 т.
За правилен теоретичен метод за определяне на масата на червеното джудже и разстоянието между компонентите – 4 т.
За вярно пресмятане на масата начервеното джудже – 1 т.
За вярно пресмятане на разстоянието – 1 т.

Криви на AR Sco: светлинен поток и лъчева скорост според орбиталната фаза; вдясно има увеличен участък от кривата на блясъка. Над графиките остава отпечатаният пренесен надпис към фиг. 2. — Фиг. 3. Крива на блясъка на AR Sco и крива на лъчевата скорост на червеното джудже – към 2 задача.

Оригинал в Архива: NOA2_2018_11-12problems.pdf · официални решения: NOA2_2018_11-12solutions.pdf