НОА 2018, II кръг (областен), 11–12 клас — Задача 4. Грешка при старта

• А) 2.405 години

  $a = (0.98 + 2.61)/2 = 1.795$ AU, $T = \sqrt{a^3} \approx 2.405$ години.

• Б) Земята се завърта на $0.203 \times 360^\circ \approx 73^\circ$ спрямо положението си на 6 февруари 2018 г.; това става $\approx 74$ дни след 6 февруари, т.е. на 21 април 2019 г.

  $t = T/2 \approx 1.203$ години.

• В) Близо до границата на съзвездията Козирог и Водолей, но с по-голяма вероятност във Водолей.

  Автомобилът се вижда на $\approx 56^\circ$ западно от Слънцето, което на 21 април е близо до границата Риби–Овен.

• Г) $1 \times 10^{11}$ J

  $\Delta E = \frac{\gamma M m}{2}\left(\frac{1}{a_0} - \frac{1}{a}\right) \approx 10^{11}$ J, при $a_0 = 1.345$ AU.

Голямата полуос на орбитата на космическия автомобил е:

Орбиталния му период намираме от третия закон на Кеплер. Когато голямата полуос е изразена в астрономически единици, а периода в години, то третият закон на Кеплер може да се запише в следния опростен вид:

Оттук намираме:

Автомобилът ще достигне до афелия на своята орбита за време:

За това време Земята ще направи една пълна обиколка по своята орбита и ще измине още 0.203 части от следващата обиколка. Това съответства на ъгъл на завъртане около Слънцето спрямо първоначалното положение:

Отмерваме с транспортир този ъгъл от положението на Земята на 6 февруари 2018 г. по посока на нейното обикаляне около Слънцето и получаваме новото положение на Земята в момента, когато космическият автомобил е в своя афелий в точка А на схемата.

Датата, на която ще се случи това, е $0.203 \times 365.25 \approx 74$ дни след 6 февруари. До края на февруари остават 22 дни. Към тях прибавяме 31 дни за март и получаваме 53 дни. До края на периода от 74 дни има 74 – 53 = 21 дни. Така получаваме, че космическият автомобил ще бъде в своя афелий на 21 април 2019 г. На тази дата Слънцето трябва да се намира близо до границата на съзвездията Риби и Овен. Измерваме ъгъла “Слънце” – “Земя на 21 април” – “афелий на орбитата на автомобила (точка А)”. Той се оказва приблизително $56^\circ$. Точката, в която ще виждаме автомобила от Земята е на $56^\circ$ западно от Слънцето. Това са почти две зодиакални съзвездия, през които Слънцето вече е преминало. Следователно тя е близо до границата на съзвездията Козирог и Водолей, но с по-голяма вероятност във Водолей.

Определяме голямата полуос на първоначално предвидената орбита за космическия автомобил:

Пълната механична енергия на автомобила по такава орбита би била:

където $M$ е масата на Слънцето, а $m$ е масата на автомобила. Енергията на автомобила при движението му по реално получената орбита е:

Накрая намираме енергията, придадена в повече от предвиденото от ракетните двиагели:

Критерии за оценяване (общо 15 т.):

• За намиране на голямата полуос на орбитата на автомобила – 1 т.
• За намиране на периода – 2 т.
• За пресмятане на времето, необходимо за достигане до афелия – 1 т.
• За теоретично определяне на новото положение на Земята – 1 т.
• За измерване и нанасяне на схемата – 2 т.
• За правилен метод за определяне в кое съзвездие ще бъде автомобилът – 1 т.
• За измерване и практическо приложение на метода – 2 т.
• За правилно посочване на съзвездието, в коете ще е автомобилът – 1 т.
• За пралилен метод за определяне на разликата в енергиите – 3 т.
• За верен краен резултат – 1 т.