НОА 2018, II кръг (областен), 9–10 клас — Задача 4. Слънце на еклиптиката

• А) Симетрично на $60^\circ.67$ на изток и на запад от положението на 21 декември – на 2/3 градуса след шестите маркери в двете посоки (виж Фиг. 4b).

  $n = 180^\circ/181^d \approx 0.9945^\circ$/денонощие, $n_1 = 61^d \cdot n = 60^\circ.67$.

• Б) На 21.10. Слънцето е в Дева; след това преминава последователно през Везни, Скорпион, Змиеносец, Стрелец, Козирог и накрая навлиза във Водолей.

• В) Везни – 29.10., Скорпион – 22.11., Змиеносец – 29.11., Стрелец – 17.12., Козирог – 18.01., Водолей – 16.02.

  Мащаб на картата $206\,\text{mm}/120^\circ = 1.7167$ mm/deg, откъдето $m = 1.7073$ mm/денонощие. Допустима е разлика от 1 денонощие.

От 21 октомври до 21 декември изминават 61 денонощия. От 21 декември до 20 февруари също са 61 денонощия. Следователно Слънцето ще се придвижи за това време на малко над $60^\circ$. Щом приемаме, че движението на Слънцето през зимното полугодие по еклиптиката е равномерно, то трябва да пресметнем с каква средна скорост то се движи през този период на годината. За целта разделяме 180 градуса, които Слънцето изминава за цялото зимно полугодие, на броя на дните в това полугодие. От датата на есенното равноденствие 22.09. до датата на пролетното равноденствие 20.03. изминават 181 денонощия. Това е броят на дните в зимното полугодие:

Даденото положение на Слънцето е на 21.12. в съзвездието Стрелец. От 21.10. до 21.12. са 61 денонощия. От 21.12. до 20.02. също са 61 денонощия. Умножаваме броя на денонощията по $n$ и получаваме колко градуса е изминало Слънцето през този интервал от време:

Знаем, че Земята е в своя перихелий в началото на януари. Това е близо до зимното слънцестоене, което е на 21.12. Затова симетрично нанасяме по $60^\circ.67$ на изток и на запад от даденото положение на Слънцето на 21.12. Положенията на Слънцето са на 2/3 градуса след шестите маркери в двете посоки. (Виж картата.)

На 21.10. Слънцето е в съзвездието Дева. След това то преминава последователно през съзвездията Везни, Скорпион, Змиеносец, Стрелец, Козирог и накрая навлиза във Водолей.

Намираме мащаба на изображението като делим разстоянието между маркерите на разстоянието в градуси между тях. Забелязваме, че между централните маркери разстоянията в милиметри са малко по-малки отколкото между крайните, но разликите са много малки, а в задачата не се търси голяма прецизност, предвид приближението за равномерно движение през зимното полугодие. Разстоянието между крайните маркери е 206 mm. То отговаря на $120^\circ$ на небесната сфера. Мащабът на изображението е:

Трябва да пресметнем колко милиметра изминава Слънцето за 1 денонощие. За целта умножаваме получените по-горе коефициенти:

Измерваме в милиметри разстоянията до пресечните точки на еклиптиката с границите на съзвездията като тръгваме от даденото положение на Слънцето на 21.12. и получените положения за 21.10. и 20.02. и мерим до близките относно тях граници на съзвездията. След това делим на мащаба m. Така определяме за колко денонощия Слънцето достига до пресечните точки на еклиптиката с границите на съответните съзвездия. След измерванията и пресмятанията за датите на пресичане на границите на съзвездията получаваме: Везни – 29.10., Скорпион – 22.11., Змиеносец – 29.11., Стрелец – 17.12., Козирог – 18.01., Водолей – 16.02.

Справка с литературата показва, че само при три съзвездия има разлика от 1 денонощие. Тя се дължи на това, че Слънцето не се движи равномерно в рамките на зимното полугодие, на натрупване на грешка при измерване на по-дълги отсечки и на това, че сме взели кръгли начални и крайни дати като изходни моменти при пресмятанията, което внася допълнителна независима грешка.

Фиг. 4b. Звездна карта с еклиптиката – към задача 4.(Решение)

Критерии за оценяване (общо 15 т.):

• За определяне на положенията на Слънцето на 20 февруари и на 21 октомври – 2 т.
• За определяне на съзвездията през които преминава Слънцето $6 \times 0.5$ т. = 3 т.
• За правилен подход при пресмятането на датите на които Слънцето преминава границите на съзвездията – 4 т.
• За правилно пресмятане на датите на които Слънцето пресича границите на съзвездията $6 \times 1$ т. = 6 т. ( Допустима е разлика от 1 денонощие.)