НОА 2018, III кръг (национален), 11–12 клас — Задача 2. Фантастичен телескоп

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА. ХXI НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО АСТРОНОМИЯ. Национален кръг на олимпиадата по астрономия. Теоретичен тур – 5 май 2018 г. Възрастова група XI-XII клас · 5 май 2018 г.

Условие

Начинаещ астроном с буйно въображение има съвсем нестандартна и може би доста необмислена идея за космически телескоп. Според него телескопът трябва да има за обектив огромно огледало, монтирано в кратера Хершел на спътника на Сатурн Мимас.

Спътникът Мимас има радиус 198 км и маса $3.75\times10^{19}$ кг. Неговият орбитален период около Сатурн е 0.942 денонощия и спътникът е приливно заключен. Това означава, че периодът му на околоосно въртене е равен на орбиталния му период и той е винаги обърнат към Сатурн с една и съща своя страна. Центърът на кратера Хершел лежи почти точно на екватора на спътника. Диаметърът на кратера е 139 км.

Фотоприемната апаратура на хипотетичния телескоп трябва да се намира в главния фокус на огледалото. Тя ще се носи от стационарен спътник, който се движи в екваториалната равнина на Мимас с орбитален период равен на периода на неговото околоосно въртене, така че непрекъснато ще „виси” над кратера.

А) Какъв ще бъде размерът на изображението на Земята, наблюдавана с този телескоп, върху цифровата матрица, разположена в главния фокус? Радиусът на Земята е 6371 км, радиусът на орбитата на Сатурн около Слънцето е 9.58 астрономически единици, а една астрономическа единица е $149.6 \times 10^{6}$ км. Каква ще бъде разделителната способност на телескопа при наблюдение във видима светлина?

Г) Кратерът Хершел се намира на около $110^{\circ}$ от центъра на обърнатата към Сатурн страна на спътника Мимас, така че планетата Сатурн няма да влиза в полезрението на телескопа и да пречи на наблюденията. Но какви ще бъдат проблемите при работата с такъв телескоп?

Гравитационната константа е равна на $6.67\times10^{-11}\ \mathrm{м^{3}/кг.с^{2}}$.

Д) С помощта на фантастичния телескоп са получени спектри на два квазара, показани на следващата фигура. По хоризонталната ос е дължината на вълната, а по вертикалната – интензивността в условни единици. Разстоянието до първия квазар (горният спектър) е $3.9\times10^{9}$ светлинни години. Помогнете на астронома фантазьор да намери разстоянието до втория квазар, но не използвайте константата на Хъбъл. Астрономът я е забравил и ако вие му я припомните, ще нараните неговото самолюбие.

Решение

---

Оригинал в Архива: NOA3_2018_11-12problems.pdf