НОА 2018, IV кръг, Старша възраст — Задача 2. Нови хоризонти

• А) $1.3 \times 10^{22}$ kg

  Официално решение: $M_P \approx 1{,}3 \times 10^{22}$ kg (истинската стойност е $1{,}303 \times 10^{22}$ kg).

• Б) 15 °

  Официално решение: $\beta \approx 15^{\circ}$ (реалната стойност е $14{,}80^{\circ}$).

Дадена е крива на блясъка на Слънцето в ултравиолетовия диапазон, получена от спектрометъра Alice по време на окултацията. За нулев момент от време е приета нейната среда.

А) Предварително отбелязваме, че междинните пресмятания ще правим с брой значещи цифри, несъответстващ на този от справочните данни. Целта на това е да се избегне загубата на точност в крайния резултат, който накрая ще бъде закръглен подходящо.

Ще построим относителната орбита на Харон, използвайки предоставеното ни листче оризова хартия. Предварително начертаваме върху него права линия b, например в ъгъла. По-нататък тази линия ще послужи за ориентир.

В центъра на листчето отбелязваме точка O, която ще показва положението на Плутон. Сега върху всяка снимка на MVIC нанасяме оризовата хартия така, че точката O да съвпада с мястото на Плутон в снимката, и така, че линията b винаги да остава успоредна на ръбовете на листа със снимките. След като всичко това е направено, внимателно прерисуваме върху оризовата хартия положението на Харон, което виждаме. Повтаряме тази процедура общо девет пъти, но за последната снимка предварително трябва да "намалим" разстоянието Плутон-Харон двойно. За целта върху снимка 9 нанасяме точка върху отсечката Плутон-Харон, намираща се точно по средата. Там би се намирал Харон на снимка 9, ако мащабът ѝ беше същият, както на останалите осем снимки. На оризовата хартия ще прерисуваме именно това положение.

Ако сега свържем с плавна линия деветте положения X на Харон по листчето, това няма да даде точно относителната орбита на спътника. Това е така, защото разстоянието между New Horizons и планетата-джудже е различно на всяка от снимките, тоест ъгловите размери и мащабите [km/rad] по изображенията непрестанно се изменят! За да внесем корекция, е достатъчно да приравним с мащаба на една от снимките. Нека това е последната, тъй като при това относителната орбита по листчето ще е най-голяма.

Тук обясняваме същността на корекцията за снимка 2, но методът ще еднакъв и при останалите изображения. На оризовата хартия разстоянието между O и Харон (снимка 2) е 18,0 мм. Разстоянието от апарата до Плутон тогава е 54,4 милиона километра. В момента на последната снимка то е 49,2 милиона километра. Отношението между двете разстояния е около 1,106. Това ще бъде коефициентът, по който трябва да умножим 18,0 мм, така че да получим милиметрите, които щяхме да измерим, ако ситуацията от снимка 2 беше заснета в момент, когато разстоянието Плутон-New Horizons е 49,2 милиона километра. На оризовата хартия по лъча, свързващ O и Харон (снимка 2), нанасяме отсечка с размер $1{,}106 \times 18{,}0 = 19{,}9$ мм. Отбелязваме точката 2, която е край на тази отсечка.

По аналогичен начин получаваме девет такива точки. Очакваме относителната орбита на Харон да е елипса, защото кръгова орбита под наклон се проектира именно в това. Но само с девет точки е трудно веднага да се посочи къде е голямата полуос на елипсата. В нашия случай е по-лесно да се идентифицира малката полуос. Изчертаваме плавно частите на елипсата около краищата на малката полуос, за да посочим полуоста точно. Правим това и ползваме, че голямата полуос е перпендикулярна на малката. На този етап имаме достатъчно ориентири, за да свържем точките правдоподобно, получавайки относителната орбита.

Означаваме размера на пиксела на CCD матрицата на MVIC с $x$, а фокусното разстояние на MVIC с $F$. Тогава ако един пиксел обхваща ъглов размер $\delta_0$, ще е вярно $\delta_0[\mathrm{rad}]F = x$. Така получаваме $\delta_0 = 1{,}976 \times 10^{-5}$ rad. От снимка 9 измерваме, че 7 px съответстват на 19,25 мм$^{1}$, тоест на 9,625 мм по всички останали снимки (и по оризовата хартия). Затова по листчето оризова хартия имаме мащаб $1{,}437 \times 10^{-5}$ rad/mm. Голямата полуос на елипсата по листчето е 28,0 мм, което като ъглов размер е $4{,}023 \times 10^{-4}$ rad. Ако умножим това по разстоянието до Плутон, 49,2 милиона километра, ще получим стойността на радиуса на относителната орбита. Този радиус е $r = 19790$ km.

Сега ще определим и орбиталния период на системата Плутон-Харон. По текста на MVIC-снимките пресмятаме, че от положение 1 до положение 9 по орбитата са изминали общо 112 h 50 m. Този интервал от време, събран с неизвестния интервал от 9 до 1, дава целия орбитален период. За наблюдателя движението от 9 до 1 представлява движение по елипса, въпреки че по същество то е движение по окръжност. За да намерим на какъв участък от цялата окръжност реално съответства придвижването от 9 до 1, е достатъчно да "изправим" елипсата до кръг, тоест да си я представим, погледнато фронтално.

$^{1}$Не е използван шублер – човешкото око може да измерва с точност, забележимо по-голяма от 1/2 мм.

Точките 1 и 9, се проектират в 1’ и 9’, както е показано. А ъгълът между тях е $\eta = 92^{\circ}$. Ако означим целия орбитален период с $T$, то придвижването от 9 до 1 съответства на време $\frac{92}{360}T$. Но тогава

с което $T = 6{,}315$ d. Ако означим общата маса на Плутон и Харон с $M$, според третия закон на Кеплер ще е изпълнено

Получаваме като отговор $M = 1{,}541 \times 10^{22}$ kg. По снимка 9 намираме отношението на разстоянията до центъра на масите за Плутон и Харон. Получаваме 6,5 към 42,5. Това ще бъде и отношението на масата на Харон към масата на Плутон. И за масата на Плутон окончателно имаме $M_P = \frac{42{,}5}{49}M = 1{,}336 \times 10^{22}$ kg. Предвид точността на началните данни и точността на измерванията, отговора закръгляме до $\boxed{M_P \approx 1{,}3 \times 10^{22}\ \mathrm{kg}}$. Истинската маса на Плутон е $1{,}303 \times 10^{22}$ kg.

Б) И при Плутон, и при New Horizons движението е по права линия и с постоянна скорост. Това означава, че в отправна система, в която Плутон е неподвижен, New Horizons отново ще се движи с постоянна скорост и по права линия. Във въпросната отправна система сянката на Плутон също ще приемем за неподвижна, тъй като линейната ѝ скорост близо до Плутон е практически равна на самата орбитална скорост на планетата-джудже.

Първо да намерим скоростта на New Horizons в отправна система, свързана с Плутон. За 110 h 50 m апаратът изминава $54{,}8 - 49{,}2 = 5{,}6$ милиона километра. За скоростта му получаваме $v = 14{,}0$ km/s. Може да получим и скоростта $v_s$, с която апаратът преминава през сянката на Плутон. На графиката по оста на времето 2000 s съответстват на 178,0 мм. Периодът на окултацията съответства на 58,5 мм, тоест на $\Delta t = 657$ s. Тогава търсената скорост е $v_s = \frac{2R_P}{\Delta t} = 3{,}6$ km/s.

Направеното дотук позволява да намерим ъгъла $\beta$, под който New Horizons навлиза в сянката. Съгласно чертежа $\cos\alpha = v_s/v$, а $\beta = 90^{\circ} - \alpha \approx 15{,}0^{\circ}$. Ъгълът апарат-Плутон-Слънце непрестанно се мени, но с отдалечаването на New Horizons назад по траекторията, този ъгъл клони към $\beta$. Така търсения в задачата ъгъл оценяваме именно на $\boxed{\beta \approx 15^{\circ}}$ (за един месец апаратът всъщност изминава огромно разстояние – около 36 милиона километра). Реалната стойност на ъгъла е $14{,}80^{\circ}$.

Критерии за оценяване (общо 22 т.):

За точно пренасяне на положенията на Харон спрямо Плутон върху прозрачния лист хартия – 2 т.

За вярно мащабиране, отчитащо различните разстояния до Плутон на различните снимки и удвоения размер на последната снимка – 2 т.

За свързване на точките и получаване на относителната орбита – 1 т. (точката се дава и при липса на мащабиране)

За измервания и пресмятания, водещи до добра стойност за радиуса на относителната орбита – 3 т.

За точно определяне на периода на системата (с “изправяне” на елипсата) – 4 т. (ако периодът е определен с екстраполиране – до 2 т.)

За получаване на общата маса на системата Плутон-Харон, използвайки третия закон на Кеплер – 1 т.

За оценка на отношението на масите на Плутон и Харон – 1 т.

За добра числена стойност за масата на Плутон – 1 т.

За намиране на скоростта на New Horizons спрямо Плутон – 1 т.

За намиране на скоростта, с която апаратът New Horizons преминава през сянката на Плутон – 1 т.

За разбиране, че в отправна система, свързана с Плутон, траекторията на апарата остава права линия – 1 т.

За намиране на ъгъла, под който апаратът влиза в сянката на Плутон – 1 т.

За съобразяване, че ъгълът на влизане в сянката е на практика ъгълът между New Horizons и Слънцето – 3 т.