Съдържание

НОА 2019, II кръг (областен), 9–10 клас — Задача 1. Планета около двойна звезда

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2019

XXII Национална олимпиада по астрономия 2019, областен кръг, възрастова група IX-X клас · 23 февруари 2019 г. · 12 т.

Условие

Двойната система Kepler-47 се състои от две звезди, които се движат около общия си център на масите с период 7.45 денонощия. Разстоянието между тях е 0.0836 AU (астрономически единици). Компонентата А е жълта звезда с маса 1.043 $M_\odot$ и радиус 0.964 $R_\odot$ , а компонентата В е червено джудже с маса 0.362 $M_\odot$ и радиус 0.351 $R_\odot$ . С $M_\odot$ и $R_\odot$ са означени масата и радиусът на Слънцето.

А) На какво максимално разстояние от компонентата В трябва да се намира в даден момент една планета, така че от нейната повърхност да се наблюдава пълно затъмнение на компонентата А от компонентата В?

Б) Планетата Kepler-47b е най-вътрешната от трите открити досега планети, които обикалят около двойната звезда. Тя се движи по орбита с радиус 0.2962 AU. Намерете орбиталния период на планетата около двойната звезда в земни години и в дни. Вие се намирате на повърхността на тази планета. Определете през какъв интервал от време ще виждате затъмнение на звездата А от звездата В. Как ще се променят условията на повърхността на планетата около вас по време на такова затъмнение?

В) По друго време на деня в небето над вас греят и двете слънца. Как мислите, дали ще виждате ясно двете сенки, които ще хвърляте?

Отговори

Решение

Решение:

Означаваме с $r$ разстоянието между двете звезди А и В, а с $x$ максималното разстояние от звездата В, на което от планетата Р ще се вижда пълно затъмнение на звездата А от звездата В. Това е разстоянието, на което за наблюдател от планетата Р двете звезди ще имат еднакви ъглови размери, както е показано на схемата.

Два кръга с центрове A и B и допирателни от точка P, с означени радиуси R_A, R_B и разстояния r и x — Схема към решението: звездите А (радиус $R_A$ ) и В (радиус $R_B$ ) на разстояние $r$ и планетата Р на разстояние $x$ от звездата В.

В сила е следното съотношение:

\frac{R_A}{R_B} = \frac{r + x}{x}

където $R_A$ и $R_B$ са радиусите на звездите А и В. Оттук намираме:

x = r\,\frac{R_B}{R_A - R_B} \approx 0.0479\ \mathrm{AU}

На такова малко разстояние планетата едва ли би могла да има устойчива орбита около двете звезди.

Да означим с $M_A$ и $M_B$ масите на звездите А и В, а с $r_\mathrm{p}$ радиуса на орбитата на планетата около двойната система. Орбиталния период $T_\mathrm{p}$ на планетата ще намерим чрез III закон на Кеплер:

\frac{r_p^{\,3}}{T_p^{\,2}} = \frac{\gamma (M_A + M_B)}{4\pi^2}

Когато радиусът на орбитата е изразен в астрономически единици, масите на звездите – в слънчеви маси, а периодът – в години, горната формула може да се запише в следния вид:

\frac{r_p^{\,3}}{T_p^{\,2}} = M_A + M_B

Оттук получаваме:

T_p = \sqrt{\frac{r_p^{\,3}}{M_A + M_B}} \approx 0.136\ \text{год.} \approx 49.7\ \text{денонощия}

Нека $T_{\mathrm{AB}}$ е орбиталният период на движение на звездите от двойната система около общия им център на масите, а $T_x$ да е периодът, през който от планетата се наблюдават затъмнения на звездата А от звездата В. Можем да намерим $T_x$ от следното съотношение:

\frac{1}{T_x} = \frac{1}{T_{AB}} - \frac{1}{T_p}

T_x = \frac{T_p T_{AB}}{T_p - T_{AB}} \approx 8.8\ \text{денонощия}

Както се вижда от данните, звездата А е доста подобна на Слънцето, а звездата В е червено джудже. Това означава, че звездата В има светимост стотици пъти по-ниска от светимостта на звездата А. Планетата е отдалечена от компонентата В на разстояние, значително по-голямо от максималното, на което може да има пълни затъмнения. Звездата В ще покрива частично видимия диск на звездата А. Но все пак по време на такова затъмнение на повърхността на планетата ще става по-тъмно, навярно с идването на „сянката“ на червеното джудже на мястото на наблюдение ще се усеща леко захлаждане.

Когато и двете звезди се виждат в небето над нас, ние наистина ще хвърляме по две сенки. Но ще виждаме добре само сянката си, хвърлена при осветяването ни от звездата А. Поради твърде слабия блясък на звездата В, сянката, която ще хвърляме при осветяването ни от нея, ще бъде трудно различима.

Критерии за оценяване (общо 12 т.):

За правилен начин за намиране на максималното разстояние, от което могет да се виждат пълни затъмнения – 2.5 т.

За верен числен отговор – 0.5 т.

За правилен начин за определяне на орбиталния период на планетата – 2.5 т.

За верен числен отговор – 0.5 т.

За определяне на периода, през който ще се виждат затъмнения – 3 т.

За коментар относно промяната на условията по време на затъмнение – 1 т.

За обяснение относно видимостта на две сенки – 2 т.

Оригинал в Архива: NOA2_2019_9-10problems.pdf · официални решения: NOA2_2019_9-10solutions.pdf