НОА 2019, III кръг (национален), 11–12 клас — Задача 1. Горещи пиксели

• А) $D = d\cdot\frac{r}{R}\cdot\left(\frac{T_{Si}}{T}\right)^2 \approx 115\ \mathrm{km}$

  Фокусното разстояние на такъв телескоп е $F = d/\delta \approx 187$ km.

• Б) Да – при диаметър на огледалото $D_W \approx 529$ km дискът се нагрява до температурата на Проксима, а за да се разтопи е нужен диаметър $D_{W1} \approx 781$ km.

  $D_W = d\cdot\frac{r}{R}\sqrt{2} \approx 529$ km; $D_{W1} = d\cdot\frac{r}{R}\cdot\left(\frac{T_W}{T}\right)^2\sqrt{2} \approx 781$ km, т.е. над 4 пъти по-голямо от фокусното разстояние – сферично огледало е геометрично невъзможно, но параболично е допустимо.

• В) Трудността да се изработи толкова огромно огледало със съвършена форма и гладкост; оптическите аберации; липсата на покритие със 100% отражателна способност за всички дължини на вълната; частичното отражение и пропускане от силициевата матрица и от волфрамовия диск; трудното задържане на матрицата/диска точно в главния фокус. Освен това вторият принцип на термодинамиката не позволява нагряване над температурата на източника.

Решение:

Първо ще намерим видимия ъглов диаметър $\delta$ на звездата Проксима. Нека $p$ е паралаксът на звездата, $r$ е разстоянието до нея, $R$ е нейният радиус, а с $a = 149.6 \times 10^6$ km ще означим разстоянието от една астрономическа единица. Тогава:

За да се получи изображение на Проксима с диаметър $d = 1$ мм, фокусното разстояние на телескопа трябва да бъде:

Светимостта на Проксима е:

където $T$ е нейната температура, а $\sigma$ е константата на Стефан. На разстояние $r$ звездата създава осветеност:

Ако с $D$ означим диаметъра на обектива, то осветеността, създавана от Проксима в рамките на нейното изображение в главния фокус ще бъде толкова пъти по-голяма от осветеността върху обектива на телескопа, колкото пъти площта на този обектив е по-голяма от площта на изображението на звездата:

Ако предположим, че материалът, от който е направена CCD матрицата, има нулева отражателна способност, то той ще се нагрява дотогава, докогато потокът от неговото излъчване се изравни с потока енергия $E_1$, попадаща върху него от звездата. Ако искаме това да се случи при температурата на топене на силиция $T_{Si}$, то първо от градуси по Целзий я превръщаме в келвини и трябва да се изпълни равенството:

Оттук за диаметъра на огледалото получаваме:

Ако в главния фокус на огледалото поставим тънък диск от волфрам и искаме да го нагреем до температурата на Проксима, то отново осветеността от звездата трябва да се изравни с потока излъчване от диска:

С коефициента 2 отчитаме това, че дискът излъчва и от двете си страни. За диаметъра на телескопа получаваме:

Този диаметър е около 2.8 пъти по-голям от фокусното разстояние на телескопа.

Да означим с $T_W$ температурата на топене на волфрама, която също превръщаме в келвини. За да разтопим волфрамовия диск, диаметърът на огледалото трябва да е:

Това е над 4 пъти по-голямо от фокусното разстояние на огледалото. Такъв обектив не е възможно да се построи от геометрична гледна точка, ако става въпрос за сферично огледало, но огледалото може да е параболично.

Реалното изпълнение на подобни експерименти няма да даде резултатите, до които достигнахме тук. Първо, засега поне е много трудно да се направи такова огромно огледало, което при това да има съвършената форма и гладкост, изпълнени с фантастична точност. Освен това, както и да направим огледалото, то няма да е напълно свободно от оптически аберации. Не съществува огледално покритие със 100% отражателна способност, при това за всички дължини на електромагнитните вълни. Силициевата цифрова матрица също ще отразява част от попадналия върху нея светлинен поток, а друга част ще пропуска. Същото важи и за волфрамовия диск. Много ще бъде трудно да се контролира позицията в пространството на матрицата или диска, така че да остават точно в главния фокус на огромния телескоп. В крайна сметка температурата, която ще се постигне в главния фокус на огледалото, ще е значително по-ниска от пресметнатите тук стойности. Що се отнася в частност до разтопяването на волфрама, можем да си припомним едно следствие от втория принцип на термодинамиката, според което не е възможно да нагреем даден обект до температура по-висока от температурата на източника на енергия, който използваме.

Критерии за оценяване (общо 14 точки):

За определяне на фокусното разстояние на обектива – 2 т.

За правилна математическа постановка на решението за диаметъра на огледалото – 4 т.

За правилно решение за разтопяването на петно от CCD камерата – 1 т.

За правилно решение за загряването на волфрамовия диск до температурата на Проксима – 1 т.

За правилно решение за разтопяването на волфрамовия диск – 1 т.

За заключение относно възможността да се построи такова огледало – 1 т.

За посочване на факторите, които ще повлияят в реална ситуация – 4 т.